2016年洛南中学の問題です。

いずれかの位に0を含む整数を小さいものから順に並べると，
　　　　　　　10，20，‥‥，100，101，102，‥‥，110，‥‥‥
　となります。これらの数について，次の問いに答えなさい。
（1）3けたの数は全部で何個ありますか。
（2）2016は何番目の数ですか。
（3）2620番目の数は何ですか。

(1)3桁の数の百の位には0が来ないので、10の位に0が来るか、1の位に0が来るか、あるいはその両方か、に分かれます。
10の位だけに0が来るのは、9×1×9＝81通り　1の位だけに0が来るのも81通り。両方に0が来るのは9通りだから、合計171通り
（答え）171通り
(2)
2桁の数は9通り。
3桁の数は171通り。
1000の位の数は、1000～1999まで1000個ありますが、0が全く来ないのは1×9×9×9＝729通りだから、0が含まれるのは1000－729＝271通り。
2016は2000～2016まで必ず0がついているので、17番目。
9＋171＋271＋17＝468
（答え）468番目
(3)
3桁までは180通り。4桁は1000台、2000台、各271通りになるから、2620－180＝2440　2440÷271＝9･･･1
したがって10000
（答え）10000

「映像教材、これでわかる場合の数」（田中貴）

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4月12日の問題
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2016年東大寺学園の問題です。

3種類の数字1、2、3を次の規則A、B、Cにしたがって、左から順に一列に並べます。
規則A　1の次は3
規則B　2の次は2または3
規則C　3の次は1または2または3
　例えば、2個の数字を並べるとき、13、22、23、31、32、33の6通りの並べ方があります。このとき、次の問いに答えなさい。
　（1）4個の数字を並べるとき、左から1番目と4番目が2である並べ方は全部で何通りありますか。
　（2）10個の数字を並べるとき、左から1、4、10番目が2で左から7番目が1である並べ方は全部で何通りありますか。
　（3）10個の数字を並べるとき、左から1、4、10番目が2である並べ方は全部で何通りありますか。

【解説と解答】
(1)
最初に2があるのは22、23、最後に2があるのは22、32です。
2222、2232、2322、2332と４つあります。
（答え）4通り

(2)
左から4桁は2222、2232、2322、2332です。
残り6桁では○○1○○2となるので、1の前は3しかないから、○31○○2となり、2の前は2か3なので○31○22、○31○32です。
2の次は2か3ですから、
231○22、231○32、331○22、331○32
1の次は3と決まるので
231322、231332、331322、331332の4つですから4×4＝16通りあります。
（答え）16通り

(3)
最初の4桁は2222、2232、2322、2332
また最後の2桁は22か32になります。

その間の4桁は最初が2か3になるので、
2222、2223、2231、2232、2233、2313、2322、2323、2331、2332、2333、
3131、3132、3133、3222、3223、3231、3232、3233、3313、3322、3323、3331、3332、3333
の25通りありますが、
このうち2につながるのは最後の数が2か3なので、20個です。

したがって4×20×1＋4×25×1＝80＋100＝180

（答え）180通り

「映像教材、これでわかる場合の数」（田中貴）

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