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力のつりあいに関する問題

2024年洗足学園第1回の問題です。

園子さんは、図1のようなモービルのつりあいに興味を持ち、実験をしました。実験で使用する棒や糸の重さや太さは無視できるものとし、棒や円盤はおもりをつるしても、変形したり角度が変化したりしないものとします。また、必要であれば、図2の三角形の対応する辺の長さの比を使用しなさい。小数第2位以下がある場合は、四捨五入して小数第1位まで答えなさい。

【実験1】
図3のように、はしから3cmのところでいろいろな角度に曲げて固定できる9cmの棒の両端に、様々な重さのおもりをつるした。棒が静止したときの角A、角Bの大きさ、おもりC、Dの重さを記録し、その結果を表1にまとめた。図のL1、L2は、支点を通る水平面におもりC、Dをつるしている糸の延長線がぶつかる点と、支点との距離を表している。 L1やL2を『おもりと支点の水平方向の距離』とする。

（１）　表１の（あ）に当てはまる数値を答えなさい。

（２）　実験１－２および実験１－３のL1の長さはそれぞれ何cmですか。

（３）【実験１】の結果から園子さんは、棒が静止しているとき、『おもりと支点の水平方向の距離』と『おもりの重さ』に関係があると気づきました。どのような関係があるか、［L1］、［L2］、「重さ」を用いて文章で答えなさい。

（４）　表１の（い）に当てはまる数値を答えなさい。

園子さんは【実験1】の結果をもとに、図4のようなモービルをつくりました。棒は【実験1】で使用した棒を2本と、真ん中でいろいろな角度に曲げて固定できる9cmの棒を1本使用しました。

(5) 図4の角Eが次の①、②の角度で静止しているとき、F～Hはそれぞれ何gですか。

① 30度 ② 60度

園子さんは図5のように、壁に中心を固定してなめらかに回転できるようにした円盤を用いて同様の実験ができると考えました。円盤の半径を10cmとします。

【実験2】
おもりJを円盤のふちにつるし、おもりJが動かないように、もう1つのおもりKを円盤の中心から長さL3の位置につるした。このときの角Iの大きさ、おもりJ、Kの重さ、L3の長さをはかり、その結果を表2にまとめた。

(6) 表2の(う)、(え)に当てはまる数値を答えなさい。

【解説と解答】
モービルのつりあいは、棒の重さを無視できる場合、支点からの水平距離×重さが等しくなればつりあいます。

（1）角度がともに0°であれば、水平距離はL1＝3cm、L2＝6cmですから、3×（あ）＝6×15＝90より（あ）＝30ｇ
（答え）30g

（2）角度が同じであればL1：L2＝1：2になるので、図2からL1：3＝1.7：2ですからL1＝3×1.7÷2＝2.55≒2.6･･･から2，6cm
これも角度が同じですが、45°ですから、直角二等辺三角形になるのでL1：3＝1：1.4からL1＝3×1÷1.4＝2.14≒2.1cm
（答え）（実験1−2）　　　2.6cm　　　（実験1−3）　2.1cm

（3）L1×Ｃの重さ＝L2×Dの重さです。
（答え）L1とおもりCの重さの積はL2とおもりDの積に等しい。

（4）51：15＝17：5ですからL1：L2＝5：17です。Aが60°ですから、L1＝3÷2＝1.5cmなので、L2＝5.1cmです。したがって角Bは図2の右側の三角形になり30°です。
（答え）30°

（5）①　角Eが30°であれば、L1＝L2ですからH＝30g　その上のモービルにかかる重さは30×2＝60g
上のモービルはL1：L2＝1：2ですから左端にかかる重さは60×2＝120g。それをF：G＝1：2に分けるので、F＝120÷（1＋2）×1＝40g　G＝120−40＝80g
（答え）F　40g　G　80ｇ　H　30g

②　角Eが60°になるとL1；L2＝1:1.7になるので、30×1.7÷1＝51gがH。その上のモービルにかかる重さは51＋30＝81g
このモービルの左端の重さは81×2＝162g　162gをF：G＝1：2に分けるので、F＝162÷（1＋2）×1＝54g　G＝162ー54＝108g
（答え）F　54g　G　108g　H　51g

（6）実験2−1では、重りの比がJ：K＝1：2になっているので、Kの水平距離は5cmです。L3＝10cmですから、2：1になるので角I＝60°です。
実験2−2では、8cmで30°ですから水平距離の比は、図2の右側の三角形と同じで、その比は2：1.7ですから、水平距離は8÷2×1.7＝6.8cmです。
10×17＝6.8×（え）ですから（え）＝170÷6.8＝25g
（答え）（う）　60　（え）25

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力のつりあいに関する問題

2023年市川学園の問題です。

市川さんは棒、おもり、糸を使って、【実験１】～【実験４】を行いました。棒は太さが均一で長さ50cm、重さ50gのもの卜おもりは重さ100 g のものを使いました。ただし、糸の太さと重さは考えなくてよいものとします。
　【実験１】
　図１のように、物体Ａを棒の左端につるしたところ、おもりを使わなくても、棒は水平につり合いました。

(１)物体Ａの重さは何ｇですか。

　【実験２】
　中心よりも左側が支点となるように棒を糸でつるし、支点よりも左側に物体Ｂ、右側におもりをつるしたところ、棒は左に傾き、水平につり合いませんでした。
図２は棒が水平になるように、棒を手で支えている様子を表しています。このとき、おもりをつるした位置と支点との距離は、物体Ｂをつるした位置と支点との距離の２倍ありました。

（２）物体Ｂの重さとおもりの重さの関係はどれですか。
　ア　物体Ｂの重さは、おもりの重さより軽い。
　イ　物体Ｂの重さとおもりの重さは同じである。
　ウ　物体Ｂの重さは、おもりの重さの２倍である。
　エ　物体Ｂの重さは、おもりの重さの２倍よりも重い。

　【実験３】
　図３のように、物体Ｃを棒の左端につるし、おもりを棒の右端から30cmの位置につるしたところ、棒は水平につり合いました。

　（３）物体Ｃの重さは何ｇですか。

　　【実験３】では、支点の近くに重さを知りたいものをつるし、支点をはさんで反対側におもりをつるすことによって、ものの重さがわかりました。このようにして、ものの重さをはかる道具をさおばかりと言います。

　（４）重さをはかるものの位置は棒の左端で固定し、支点の位置は棒の左端から10cmとしたさおばかりでは、最小何ｇから最大何ｇまでの重さをはかることができますか。ただし、おもりは支点よりも右側で動かすものとし、取り外すこともできるものとします。

　図４のように、水の中でものを持つと、水の中に入れずに持ったときより、軽く感じます。これは、水が水中のものを上向きに押しているためです。この力を浮力といいます。市川さんはさおぱかりを使えば、物体の重さだけではなく、浮力の大きさもはかることができると考え、次の【実験４】を行いました。

　【実験４】
　重さ255 g の物体Ｄを棒の左端につるし、おもりを棒の右端から22cmの位置につるしたところ、棒は水平につり合いました。次に、図５のように、物体Ｄを水に沈めると棒は水平につり合わなくなったので、おもりを棒の右端から24cmの位置に移動させたところ、棒は水平につり合いました。

（５）物体Ｄにはたらく浮力の大きさは何ｇですか。

【解説と解答】
（１）棒の重さは50gで、太さが均質、長さが50cmですから、左端から25cmのところに重心があり、ここに50gかかっています。
色からは25－10＝15cmですから
物体A×10cm＝50×15＝750　となるので750÷10＝75gが物体Aの重さです。
（答え）75g
（２）物体Bから支点までの距離が【1】、支点からおもりまでの距離が【2】です。棒の重さがあるので、
物体Bの重さ×【1】＞おもり×【2】＋棒の重さ×支点からの距離
となりますから、物体Bの重さはおもりの2倍よりも大きくなります。
（答え）エ

（３）支点からおもりまでの距離は10cmです。また支点から棒の中心までの距離は15cmです。
したがって
物体C×10cm＝100×10＋50×15＝1750ですから物体Cの重さは175gです。
（答え）175g

（４）一番重さが小さい時は支点から物体が10cmのときに、棒の重さだけでつりあうときですから、
50×15÷10＝75g
一番重さが大きい時はおもりが一番右端にくるときですから、
（50×15＋100×40）÷10＝475g
したがって最小が75g　最大が475gです。
（答え）最小　75g　最大　475g

（５）おもり2cm分の回転力が減ったので、100×2＝200ですから、200÷10＝20gの浮力がかかったことになります。
（答え）20g

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力のつりあいに関する問題

　図１の装置は２つの円板を中心が重なるようにはりあわせて、その中心を軸にして一体となって回転できるようにしたもので、輪軸とよばれます。輪軸に関する次の問いに答えなさい。ただし、糸の重さは無視できるものとします。

（１）図１のように、半径５ｃｍと半径20cmの円板をはりあわせた輪軸を使い、内側の円板に40gのおもりをつるしました。輪軸を静止させるには、外側の円板に何ｇのおもりをつるしたらよいですか。

　図１の輪軸と同じものを２つ用意して、図２のように接した円板の縁どうしがすべらないようにした装置を作ります。図２のように、40gのおもりを２つつるすと輪軸はどちらも回転しませんでした。２つの輪軸を組み合わせたものに関する以下の問いに答えなさい。ただし、図３以降の装置についても、すべて図１の輪軸を使い、円板の縁はすべらず、糸の重さは無視できるものとします。

（２）図３のような装置を作りました。右の輪軸の大きな円板に矢印の向きに力を加えると、２つの輪軸は静止したままでした。このとき、加えた力の大きさは何ｇの重さに相当しますか。

（３）図４のような装置を作りました。２つの輪軸を静止させるためには、図４の点Ａにどのような力を加えればよいですか。力の向きをアまたはイから選びなさい。また、その力の大きさは何ｇの重さに相当しますか。

（４）図５のように40 g と480 gのおもりをつるし、２つの輪軸を手でおさえて動かないようにしました。輪軸から手を静かにはなすと40 gのおもりはどのような動きをしますか。正しいものを選びなさい。
　　ア. 静止したまま。
　　イ. 上向きに動き始める。
　　ウ. 下向きに動き始める。

【解説と解答】
(1)40×5÷20＝10g
（答え）10g
(2)図２で左の輪軸の右端には10gの下向きの力がかかり、右の輪軸の左はしには10gの上向きの力がかかっているのでつりあいます。
図３では左の輪軸の右端には10gの上向きの力がかかるので、右の輪軸の真ん中の輪には同じく10gの上向きの力がかかりますから、10×5÷20＝2.5gの下向きの力がかかります。したがってこれと釣り合わせるので、上に2.5gの力で引っ張ればよいことになります。
（答え）2.5g
(3)図４では左の輪軸の小さい輪に40×4＝160gの上向きの力がかかります。したがって右の輪軸は下に引っ張ればよいので、アの方向に160g引っ張ればよいことになります。
（答え）ア　160g
(4) 左の輪軸の小さい方の輪には160gの上向きの力がかかります。一方右の輪軸の大きい方の輪は480÷4＝120gで左端は下向きにかかります。よって左の方が強いので左の輪は上向きに動くから40gのおもりは下向きに動きます。
（答え）ウ