2014年聖光学院の問題です。

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身長100cmのひかる君は正方形の鏡を使って、実験1～実験3をおこないました。あとの（1）～（5）の問いに答えなさい。ただし、ひかる君の目の高さは床から90cmです。また、鏡の厚さは考えないものとします。

［実験1］図1のように、ひかる君は、ある大きさの正方形の鏡を壁に取り付けました。壁から100cmの場所に立ったところ、頭の先と足の先がちょうど鏡の上下の端に映りました。

図１

（1）鏡の1辺の長さは何cmですか。

（2）鏡の中心の高さは、床から何cmですか。

［実験2］図2のように、1辺の長さが50cmの正方形の鏡を、その中心が床から90cmの高さになるように、壁に取り付けました。そして、ひかる君は壁から100cmの場所に、身長180cmのお父さんは壁から200cmの場所に立ちました。ひかる君が鏡をのぞいたら、鏡を通してお父さんの体の一部が見えました。

図２

（3）鏡に映ったのは、お父さんの体のどこからどこまでですか。その範囲を、床からの高さで答えなさい。

（4）お父さんだけが撃から少しずつ離れていきました。お父さんがある場所まで移動したとき、ひかる君は鏡を通してお父さんの全身を見るととができました。お父さんの全身が初めて見えたとき、お父さんは壁から何cm離れていましたか。

［実験3］1辺の長さが40cmの正方形の鏡を、その中心が床から90cmの高さになるように、壁に取り付けました。図3はその様子を真上から見たものです。そして、身長180cm、肩幅60cmのお父さんは、壁から120cm、鏡の端から130cmずれた場所に立ちました。ある場所に立ったひかる君か鏡をのぞいたら、鏡を通してお父さんの体の右半分だけが見えました。次に、ひかる君が壁に対して平行に、右へ32cmだけ移動したところで、お父さんの全身が初めて見えました。

図３

（5）　ひかる君は右へ移動しなくても、壁に対して垂直に近づけば、鏡を通してお父さんの全身を見ることができます。このようにしたとき、お父さんの全身が初めて見えるのは、ひかる君が壁に何cm近づいたときですか。

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（解説と解答）
（１）下図４のように、鏡の向こうの像は鏡から100cmのところにあります。

図４

ここでひかる君は自分の全身を見ることができたので、鏡の高さは図のDEの長さになります。
三角形ADEと三角形ABCは1：2の相似の三角形ですから、DEの長さは50㎝になります。
（答え）50cm

（２）図４でAは下から90cmですから、EFの長さは90÷2＝45cmなので、鏡の中心は45＋50÷2＝70cmのところにあります。
（答え）70cm

（３）鏡の高さは50cm、中心が下から90cmですから、90－50÷2＝65cmが鏡の下辺になります。

図５

お父さんの像が鏡の反対側の200cmのところにあり、お父さんの身長は180cmです。したがってGF：FC＝1：2よりお父さんの像は鏡には、50×3＝150cm分しか映りません。
ひかる君の目の高さが90cmですから、鏡の下辺との高さの差（AI）は
90－65＝25㎝　したがってHJの高さは25×2＝50cmなので、HCは65－50＝15cmになります。
お父さんは下が15cmから上が15＋150＝165cmまでしか見えません。
（答え）15cmから165cmまで

（４）鏡の高さが50㎝しかありませんので、図のGF：FC＝50：180－50＝5：13になれば、お父さんの像は全部見えることになります。
ひかる君の位置は変わりませんから、100÷5×13＝260cmお父さんは壁から離れれば良いことになります。

（答え）260cm

（５）お父さんの肩幅は60cmですから、半分は30cmです。
ひかる君は32cm動くことで30cm、視野が広がったので、
ひかる君からかべまでの距離：かべからお父さんまでの距離＝32：30＝16：15

お父さんから壁までの距離が120cmですから、ひかる君は120÷15×16＝128cm、かべと離れています。

図６

ひかる君はQに出てくれば、お父さんのすがたを全部見ることができます。

図６でアの長さは130÷120×128＝$$\frac{416}{3}$$

PQ:QR＝32：$$\frac{416}{3}$$＝3：13

したがってPQの距離は128÷（13＋3）×3＝24cmになります。

（答え）24㎝

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立教新座中学の問題です。

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図のような台形ABCDがあります。辺BC上に2点、E、Fを三角形ABEと三角形DFCがともに直角三角形になるようにとったところ、BFとEFの長さが同じになりました。また、AEとDFの交点をGとします。BFとFCの長さの比が3：4、三角形ABFの面積が36cm2のとき、次の問いに答えなさい。

（１）CEの長さを求めなさい。
（２）DGとGFの長さの比を求めなさい。
（３）三角形AGDの面積を求めなさい。

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（解説と解答）
（１）
BFとFEの長さが同じになり、BF:FC＝3：4であるので、BF：FE：EC＝3：3：1になります。
したがってBF＝【3】とすると、AB＝【6】、CD＝【4】三角形ABFの面積は【6】×【3】÷2＝36cm2　【1】×【1】＝4cm2　より【1】＝2cm
CE＝2cm
（答え）2cm

（２）
下図でFからABに平行に線を引き、AGとの交点をH、EからABに平行に線を引きGDとの交点をIとします。

このとき三角形HFEも三角形IEFもともにFE＝6cmの直角二等辺三角形ですから。FG：GI＝1：1
またFI：ID＝3：1よりFG：GI：ID＝3：3：2からDG:GF＝5：3
（答え）5：3

（３）三角形AFDの面積は台形ABCDから三角形ABFと三角形FCDを引けばよいので
（12＋8）×14÷2－12×6÷2－8×8÷2＝140－36－32＝72cm2
FG：GD＝3：5より三角形AGD＝72÷（3＋5）×5＝45cm2
（答え）45cm2

「映像教材、これでわかる比と図形」（田中貴）
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2014年巣鴨中学の問題です。

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次の実験に関連する問いに答えなさい。
　実験　3％の過酸化水素水10cm3に、粉末の二酸化マンガンを色々な重さで加え、そのとき発生した酸素の体積を測定したところ、次のような結果が得られました。なお、計算の答えは、小数点以下第2位を四捨五入して書きなさい。

問1　うすい過酸化水素水は、一般の家庭でも利用されています。その利用方法を、次のア～エから1つ選びなさい。
　　ア．うがい薬　　　　イ．せっけん　　　　ウ．かぜ薬　　　　　　エ．消毒薬

問2　酸素に関する文として正しいものを、次のア～エから1つ選びなさい。
　ア・燃料電池の原料として利用される。
　イ・水酸化ナトリウム水溶液こ通じると食塩が生じる。
　ウ・石灰水に通じると白くにごる。　　　
　エ．緑色のBTB液に通じると、BTB液が黄色になる。

問3　実験の操作1を、粉末状の二酸化マンガンの代わりに、かたまり状のものを用いて行うと、酸素の発生が遅くなりました。より速く酸素を発生させる方法として適するものを、次のア～エからすべて選びなさい。
　ア. より濃い過酸化水素水を用いる
　イ. 二酸化マンガンの量を増やす
　ウ. 過酸化水素水を冷やしておく
　エ. 二酸化マンガンに水素を充分に吹き付けておく。

間4　実験の操作2の反応が終わるまでの時間として最も適するものを、次のア～カから1つ選びなさい。
　　ア．1分52秒　　　　イ．2分15秒　　　　ウ．3分04秒　　　　エ．3分52秒
　　オ．4分27秒　　　　カ．5分11秒

問5　操作3で、二酸化マンガンを加えてから発生した酸素は、30秒後には50cm3に、1分後には81cm3になりました。

（1）実験開始直後から30秒間に発生する酸素の体積は、実験終了直前の30秒間に発生する酸素の体積のおよそ何倍になりますか。
（2）（1）のようになるのはなぜですか。その理由として適するものを、次のア～エから1つ選びなさい。
　ア．発生した酸素の中に水蒸気が混ざってしまうため
　イ．酸素が発生するにつれて、過酸化水素水がだんだん濃くなっていくため
　ウ．酸素が発生するにつれて、過酸化水素水がだんだん薄くなっていくため
　エ．二酸化マンガンが反応しにくくなるため

問6　酸素はものを燃やすために必要な気体です。炭を完全に燃やすと、気体Ⅹが発生します。

（1）大気中の気体Ⅹの増加によって生じる環境問題を、次のア～オから1つ選びなさい。
　ア．酸性雨　　イ．地球温暖化　　ウ．地盤沈下　　エ．オゾン層の遠
　オ．光化学スモッグ

（2）燃やしても気体Ⅹが発生しないものを、次のア～オから1つ選びなさい。

　ア・ガソリン　　イ．紙　　ウ．ろうそく　　エ．アルコール　　オ．スチールウール

（3）気体Ⅹを満たした500cm3のふたつきのビンがあります。重さを量ると、110．8gでした。ふたを開けて水を満たし、ふたをして重さを量ると609.7gでした。次にふたを開けて水を捨て、ビンを乾
　かしてからふたを閉めて重さを量ると110．42gでした。気体Ⅹの1cm3の重さは空気のそれの何倍ですか。なお、水1cm3の重さは1gです。
（4）（3）の空気は、ちっ素と酸素が体積比4：1で混合した気体です。また、同じ体積のちっ素と酸素の重さの比は7：8です。気体Ⅹの1cm3の重さは酸素のそれの何倍ですか。

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【解説と解答】
問1　過酸化水素水はオキシドールですから、消毒薬です。
（答え）エ

問2　酸素は、燃料電池の原料として利用されます。
（答え）ア

問3　二酸化マンガンは触媒ですから、過酸化水素水がふれる面積が広いほどよく発生します。
したがって過酸化水素水の濃度を濃くするか、二酸化マンガンを増やせば良いことになります。
（答え）ア、イ

問4　
操作1は449秒で98cm3の酸素。操作3は92秒で100cm3
449÷5＝89.8秒　89.8×$$\frac{100}{98}$$＝91.6秒ですから、時間はほぼ、二酸化マンガンと酸素の量に比例しています。
したがって449×$$\frac{2}{5}$$××$$\frac{97}{98}$$≒178ですから、ウの3分04秒が近い値になるでしょう。
（答え）ウ

問5　
（１）最後の32秒で出た酸素は100－81＝19cm3ですから、50÷19＝2.63･･･≒2.6倍になります。
（答え）2.6倍

（２）酸素が出る量が減るのは、過酸化水素水が酸素を出して薄くなるからでうｓ。
（答え）ウ

問6
酸素でものを燃やして発生するのは二酸化炭素です。
（１）したがって温暖化が問題になります。
（答え）イ

（２）炭素がないものを燃やしても二酸化炭素はできません。この場合はスチールウールです。
（答え）オ

（３）最初500cm3の二酸化炭素がありました。この重さとびんの重さの合計が110.8gです。
ここに水を500cm3入れると、500g増えます。
空気＋びん＝110.42
水＋びん＝609.7g
二酸化炭素＋びん＝110.8g

水は500g入ったので、びんの重さは609.7－500＝109.7g
二酸化炭素の重さは110.8－109.7＝1.1g
空気の重さは110.42－109.7＝0.72g
1.1÷0.72＝1.527･･･≒1.5倍
（答え）1.5倍

（４）空気中の体積比が窒素：酸素＝4：1　同じ体積の重さの比が窒素：酸素＝7：8ですから、空気中の重さの比は窒素：酸素＝4×7：1×8＝28：8＝7：2
ある体積の空気の重さを1とすると、二酸化炭素は1.5　酸素は$$\frac{2}{9}$$×5＝$$\frac{10}{9}$$

1.5÷$$\frac{10}{9}$$＝1.35≒1.4倍
（答え）1.4倍

「映像教材、これでわかる水溶液」（田中貴）

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