2014年聖光学院の問題です。
身長100cmのひかる君は正方形の鏡を使って、実験1～実験3をおこないました。あとの（1）～（5）の問いに答えなさい。ただし、ひかる君の目の高さは床から90cmです。また、鏡の厚さは考えないものとします。
［実験1］図1のように、ひかる君は、ある大きさの正方形の鏡を壁に取り付けました。壁から100cmの場所に立ったところ、頭の先と足の先がちょうど鏡の上下の端に映りました。
図１
（1）鏡の1辺の長さは何cmですか。
（2）鏡の中心の高さは、床から何cmですか。
［実験2］図2のように、1辺の長さが50cmの正方形の鏡を、その中心が床から90cmの高さになるように、壁に取り付けました。そして、ひかる君は壁から100cmの場所に、身長180cmのお父さんは壁から200cmの場所に立ちました。ひかる君が鏡をのぞいたら、鏡を通してお父さんの体の一部が見えました。
図２
（3）鏡に映ったのは、お父さんの体のどこからどこまでですか。その範囲を、床からの高さで答えなさい。
（4）お父さんだけが撃から少しずつ離れていきました。お父さんがある場所まで移動したとき、ひかる君は鏡を通してお父さんの全身を見るととができました。お父さんの全身が初めて見えたとき、お父さんは壁から何cm離れていましたか。
［実験3］1辺の長さが40cmの正方形の鏡を、その中心が床から90cmの高さになるように、壁に取り付けました。図3はその様子を真上から見たものです。そして、身長180cm、肩幅60cmのお父さんは、壁から120cm、鏡の端から130cmずれた場所に立ちました。ある場所に立ったひかる君か鏡をのぞいたら、鏡を通してお父さんの体の右半分だけが見えました。次に、ひかる君が壁に対して平行に、右へ32cmだけ移動したところで、お父さんの全身が初めて見えました。
図３
（5） ひかる君は右へ移動しなくても、壁に対して垂直に近づけば、鏡を通してお父さんの全身を見ることができます。このようにしたとき、お父さんの全身が初めて見えるのは、ひかる君が壁に何cm近づいたときですか。
（解説と解答）
（１）下図４のように、鏡の向こうの像は鏡から100cmのところにあります。
図４
ここでひかる君は自分の全身を見ることができたので、鏡の高さは図のDEの長さになります。
三角形ADEと三角形ABCは1：2の相似の三角形ですから、DEの長さは50㎝になります。
（答え）50cm
（２）図４でAは下から90cmですから、EFの長さは90÷2＝45cmなので、鏡の中心は45＋50÷2＝70cmのところにあります。
（答え）70cm
（３）鏡の高さは50cm、中心が下から90cmですから、90－50÷2＝65cmが鏡の下辺になります。
図５
お父さんの像が鏡の反対側の200cmのところにあり、お父さんの身長は180cmです。したがってGF：FC＝1：2よりお父さんの像は鏡には、50×3＝150cm分しか映りません。
ひかる君の目の高さが90cmですから、鏡の下辺との高さの差（AI）は
90－65＝25㎝ したがってHJの高さは25×2＝50cmなので、HCは65－50＝15cmになります。
お父さんは下が15cmから上が15＋150＝165cmまでしか見えません。
（答え）15cmから165cmまで
（４）鏡の高さが50㎝しかありませんので、図のGF：FC＝50：180－50＝5：13になれば、お父さんの像は全部見えることになります。
ひかる君の位置は変わりませんから、100÷5×13＝260cmお父さんは壁から離れれば良いことになります。
（答え）260cm
（５）お父さんの肩幅は60cmですから、半分は30cmです。
ひかる君は32cm動くことで30cm、視野が広がったので、
ひかる君からかべまでの距離：かべからお父さんまでの距離＝32：30＝16：15
お父さんから壁までの距離が120cmですから、ひかる君は120÷15×16＝128cm、かべと離れています。
図６
ひかる君はQに出てくれば、お父さんのすがたを全部見ることができます。
図６でアの長さは130÷120×128＝$$\frac{416}{3}$$
PQ:QR＝32：$$\frac{416}{3}$$＝3：13
したがってPQの距離は128÷（13＋3）×3＝24cmになります。
（答え）24㎝
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