2014年東邦大東邦の問題です。

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図のようなAD＝14㎝の長方形ABCDがあります。
点Pは、点Bを出発して辺BA上を毎秒1cmの速さで点Aまで動きます。
点Qは、点Pが出発してから3秒後に点Dを出発して、辺DA上を毎秒2cmの速さで点Aまで動きます。点Pと点Qが同時に点Aに着くとき、次の問いに答えなさい。

(1)辺ABの長さを求めなさい。
(2)四角形APCQの面積が長方形ABCDの面積の半分になるのは、点Pが点Bを出発してから何秒後ですか。

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【解説と解答】
（1）点Pと点Qは同時に点Aに着きます。
ADは14㎝で点Qは秒速が2cmですから、AD上を移動するのにかかる時間は14÷2＝7秒。点Qは点Pが出発してから3秒後に出るので、点PはBからAまで7＋3＝10秒かかります。したがってAB間は1×10＝10㎝
（答え）10㎝

（2）四角形APCQの面積は長方形ABCDの面積から三角形PBCと三角形CDQの面積を引いたものですから、四角形APCQが長方形ABCDの半分になるということは、2つの三角形の面積の和が長方形ABCDの半分になります。
点Qが出発してからの時間を【1】秒後とすると
三角形PBCの面積は（【1】＋3）×14÷2＝【7】＋21
三角形QDCの面積は2×【1】×10÷2＝【10】
したがって合計は【17】＋21＝10×14÷2＝70
より（70－21）÷17＝$$\frac{49}{17}$$＝2$$\frac{15}{17}$$
したがって点Pが出発してからは3＋2$$\frac{15}{17}$$＝5$$\frac{15}{17}$$秒後です。

（答え）5$$\frac{15}{17}$$秒後

「映像教材、これでわかる比と速さ」（田中貴）

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2014年筑波大駒場の問題です。

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大きな水槽に、濃度12％の食塩水が1kg入っています。この水槽に、水と濃度12％の食塩水を交互に入れていきます。

１回目：水を入れて水槽の食塩水の濃度を、水を入れ始める前の$$\frac{4}{5}$$倍の濃度にうすめます。
　　　　うすまったら、濃度12％の食塩水を加えて、水槽の食塩水を2kgにします。

２回目：水を入れて水槽の食塩水の濃度を、水を入れ始める前の$$\frac{4}{5}$$倍の濃度にうすめます。
　　　　うすまったら、濃度12％の食塩水を加えて、水槽の食塩水を3kgにします。

以下、同様に水と食塩水を交互に入れて、水槽の食塩水を1kgずつ増やしていきます。

そしてうすめるために一度に入れる水が初めて1kgになったとき、その後は、食塩水を水を交互に1kgずつ入れ続けます。次の問いに答えなさい。

（１）水槽の食塩水が2kgになったとき、濃度は何％ですか。

（２）うすめるために一度に入れる水が初めてちょうど1kgになったときを考えます。その1kgの水を入れて、水槽の食塩水は何kgになりましたか。

（３）水槽の食塩水の濃度が最も低くなるとき、その濃度は何％ですか。

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【解説と解答】
（１）$$\frac{4}{5}$$倍にうすめる、ということは前の量の$$\frac{1}{4}$$倍の水の量をいれることです。
最初1kgでしたから250gの水を入れ、12×$$\frac{4}{5}$$＝9.6％の食塩水が1250gできました。
それに12％の食塩水750gを加えて2kgにするので、1250：750＝5：3になるから、下の図のてんびんを考えると

12－9.6＝2.4％を3：5に分けて2.4÷（3＋5）×3＝0.9％、9.6％から増えるので9.6＋0.9＝10.5％になります。

（答え）10.5％

（２）うすめるための水が1kgであるためには、前の食塩水が1×4＝4kgになっていました。
したがって入れた後の食塩水の量は4＋1＝5kgです。

（答え）5kg

（３）うすめるために一度に入れる水が初めて1kgになった後は水を1kg、12％の食塩水を1kg入れるので、結局6％の食塩水を2kg入れていくのと同じになります。

全体が2kgになったとき、濃さは10.5％でした。次は500gの水を入れて8.4％にするので、これに500gの12％食塩水を混ぜることになります。したがって下のてんびんからできた食塩水は9％です。

全体が3kgになったとき、濃さは9％でした。次は750gの水を入れて7.2％にするので、これに250gの12％食塩水をまぜることになります。したがって下のてんびんから食塩水は7.5％です。

全体が4kgになったとき、濃さは7.5％でした。次は1000gの水を入れて6％にするので、一度ここで6％になります。したがってこの後は6％の食塩水を入れるのと同じになるので、最低は6％になります。

（答え）6％

《別解》
最初に12％の食塩水が1kgありました。足した水はその$$\frac{1}{4}$$で250g。足した食塩水は750gです。
次に2kgになったとき、足した水は500g、足した食塩水は500gです。
次に3kgになったとき、足した水は750g　足した食塩水は250gです。
次に4kgになったとき、足した水は1000gでした。

ということはここで12％の食塩水と水の量が同じになるので6％になります。

6年算数頻出問題精選ノート（田中貴）

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