2014年早稲田大学高等学院中学部の問題です。

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図の四角形ABCDは面積が24cm2の平行四辺形です。辺AD上に点Eを、辺AB上に点F、辺CD上に点Gをとります。さらに3点、H、E、Fと3点、H、B、Cがそれぞれ一直線上になるように点Hをとります。
AF＝FB、AE＝ED＝BH、CG：GD＝3：2のとき、色のついた部分の面積を求めなさい。

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【解説と解答】
三角形AFEと三角形FBHは合同ですから、斜線部分の面積は平行四辺形ABCDから三角形EGDと三角形BCGの面積を引けば良いことになります。

三角形EDGは平行四辺形ABCDの半分の面積である三角形ACDの$$\frac{1}{2}$$×$$\frac{2}{5}$$＝$$\frac{1}{5}$$

三角形BCGは平行四辺形ABCDの半分の面積である三角形BCDの$$\frac{3}{5}$$

したがって残された部分は1-$$\frac{1}{2}$$×$$\frac{1}{5}$$-$$\frac{1}{2}$$×$$\frac{3}{5}$$＝$$\frac{3}{5}$$

24×$$\frac{3}{5}$$＝14.4

（答え）14.4cm2

「映像教材、これでわかる比と図形」（田中貴）

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2014年国府台女子学院の問題です。

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同じ太さで同じ材質でできた長さのちがう5本の電熱線A～Eがあります。そのうちのA、B、C3本の長さはそれぞれ、Aは20cm、Bは10cm、Cは5cmになっています。これらの電熱線を図1のように水200gが入ったビーカーに入れて、水温の上がり方を調べました。5本の電熱線を調べたところ、図4のグラフにあるように、5本の直線になりました。

このあと、A～Cの3本の電熱線を図2、図3のように配線してビーカーに入れ、水温の上がり方を調べました。これについて、次の問いに答えなさい。ただし、電源装置の電圧は一定で、ビーカーに入れた水の量や電流を流す前の水温はどれも同じものとし、電熱線から発生する熱はすべて水の温度上昇に使われるものとします。

（1）　図1で、電熱線Bを使ったとき水の温度の上がり方はどのようになりますか。グラフのア～オから選び、その記号で答えなさい。

（2）　図1で、ビーカーの水を500gにして電熱線Aを使い20分間電流を流しました。このとき、水の温度は何℃上がりますか。

（3）　図2のようにつないだとき、5分間の水の温度の上がり方が最も大きいビーカーはどれですか。図2の1～3から選び、その記号で答えなさい。

（4）　図3のようにつないだとき、5分間の水の温度の上がり方が最も大きいビーカーはどれですか。図3の4～6から選び、その記号で答えなさい。

（5）　図3で、ビーカー6の水の温度の上がり方はどのような上がり方をしますか。グラフのア～オから選び、その記号で答えなさい。

（6）　図3で、ビーカー5の水を40gにして、20分間電流を流したとき、ビーカー5の水の温度は何℃上がりますか。

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【解説と解答】
(1)　電熱線は長さと抵抗が比例します。長さが2倍になれば、抵抗も2倍になるので、流れる電流は$$\frac{1}{2}$$です。

一方発熱量は電流×電流×抵抗ですから、長さが20cm、10cm、5cmの場合抵抗の比が4：2：1になるので、
流れる電流の比は1：2：4になりますから1×1×4：2×2×2：4×4×1＝4：8：16＝1：2：4になります。
したがってグラフで発熱量が1：2：4になっているのはオ：エ：イになるのでBはエになります。・
（答え）エ

(2)電熱線Aはグラフではオになります。4分間で200gの水を1℃上げるのですから、1分間あたりは50calになるので、50×20÷500＝2℃
（答え）2℃

(3）A、B、Cの電熱線を直列に配線しましたから、流れる電流はすべて同じです。そうすると、抵抗の大きいものが一番発熱するのでAが入っているビーカー1になります。
（答え）1

(4)A、B、Cでは並列に配線されているので、抵抗によって流れる電流がかわりますから、図4のグラフの順番になるので、Cが一番発熱します。
（答え）6

(5)Cはイのグラフでした。
（答え）イ

(6)ビーカー5はBでグラフではエです。200gの水を4分間で2℃上げるので、1分あたりの発熱量は200×2÷4＝100calです。
20分ですから100×20÷40＝50℃
（答え）50℃

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2014年学習院中等科の問題です。

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　3つのグループがP地を同時に9時に出発し、1台の車を利用しながらQ地まで行きました。
　第1グループはP地から途中のA地まで車に乗り、そこから歩いてQ地まで行きました。第2グループはP地からB地まで歩き、そこでA地から戻ってきた車にC地まで乗り、そこから再び歩いてQ地まで行きました。第3グループはP地からD地まで歩き、そこでC地から戻ってきた車にQ地まで乗って行きました。
　その結果、3つのグループは同時にQ地に着きました。
　下のグラフはそのときのようすを表しています。
　このとき、次の問いに答えなさい。ただし、3つのグループが歩く速さと車の速さはいつも一定で、車を乗り降りする時間はかからないものとします。
（1）Q地に着いた時刻を求めなさい。
（2）グループが時速6kmで歩いたとき、車の速さを求めなさい。
（3）（2）のとき、P地からQ地までの距離を求めなさい。

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(1)車の速さと歩く速さは一定です。
どのグループも1区間を車で移動し、2区間は歩いています。
人が1時間歩いている間に車は戻ってこなければならないので、その時間も1時間で一定になります。
車で移動している時間は34分、歩いている時間は1区間が1時間ですから、2時間34分になります。
9時に出発しましたから11時34分に着きます。
（答え）午前11時34分

(2)34分×2＝68分ですから、車がPからBまでにかかる時間は68－60＝8分です。
車が8分で移動する距離を歩くと1時間かかっているので、速さの比は車：人＝60：8＝15：2
人の時速が6kmなので6÷2×15＝45kmです。
（答え）45km

(3）車で34分、歩いて2時間ですから、45×$$\frac{34}{60}$$＋6×2＝25.5＋12＝37.5km
（答え）37.5km

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