2015年豊島岡中学の問題です。

数字の1と2と3だけを使って、３ケタまでの整数を作り、小さい方から順に

1,2,3,11,12,13,21,22,23,31,32,33,111,･･･,333

のように333まで並べました。このとき、次の各問いに答えなさい。

（１）並んでいる整数は全部で何個ですか。

（２）並んでいるすべての整数の和はいくつですか。

【解説と解答】
（１）
０を使わないので、各位の数が３通りになります。
したがって1ケタは３通り　２ケタは３×３＝９通り　３ケタは３×３×３＝27通りになるので、合計３＋９＋27＝39個になります。
（答え）39個

（２）
１ケタは1＋2＋3＝6
２ケタは６×３＋60×３＝198
３ケタは27÷３＝9より６×９＋60×９＋600×９＝54＋540＋5400＝5994
6＋198＋5994＝6198
（答え）6198

「映像教材、これでわかる数の問題」（田中貴）

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2015年早稲田中学の問題です。

図1のような3辺の長さが20cm、32cm、16cmである直方体の容器の中に、直方体の形をした石Pを入れて、毎分800cm3の割合で水を入れていきました。石の置き方は3通り（斜めに置くことはできません）ありますが、2通りは10分33秒で水があふれ出し、残りの1通りは11分36秒で水があふれ出しました。図2は3通りの石の置き方についての時間と水位の関係を1つのグラフに表したものです。次の問いに答えなさい。

（1）　石Pの体積は何cm3ですか。
（2）　石Pの最も長い辺の長さは何cmですか。
（3）　グラフのaとbの差は5分36秒です。石Pの最も短い辺の長さは何cmですか。

【解説と解答】
（1）石Pをたてに置いた時、石が容器の高さの上に突き抜ければ、容器の中の体積は減りますから、逆に水が入る容積は増え、あふれ出すまでの時間がかかります。
したがって、石がすべて入ったときは、水が800×10$$\frac{33}{60}$$＝800×$$\frac{211}{20}$$＝8440cm3　入るので、容器の容積は16×32×20＝10240cm3ですから、その差が石の体積になります。
10240－8440＝1800cm3です。
（答え）1800cm3

（２）石が容器の高さを超えて入っていた時は、水の容積が800×11$$\frac{36}{60}$$＝800×$$\frac{232}{20}$$＝9280cm3入るので、入っていた石の体積は10240－9280＝960cm3
したがって960÷1800＝$$\frac{8}{15}$$が入っていることになり、それが16cmですから、16÷8×15＝30cmが一番長い辺になります。
（答え）30cm

（３）グラフのaは1番短い辺をたてに置いた時、その高さまでくる時間。グラフのbは2番目に短い辺をたてに置いた時、その高さまでくる時間です。その差が5分36秒でした。この時間に800×5$$\frac{36}{60}$$＝4480cm3の差があります。石はaのときも、bのときもすべて水につかっていますから、（32×20×2番目に短い辺の長さ－1800）ー（30×20×1番短い辺の長さ－1800）＝4480

4480÷（32×20）＝7cmですから、2番目に短い辺と1番短い辺の長さの差が7cmです。
1800÷30＝60cm2が、その積ですから、12cmと5cmがあてはまるので、一番短い辺は5cmになります。
（答え）5cm

「映像教材、これでわかる比と図形」（田中貴）

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