2016年筑波大付属駒場中学の問題です。

長さ４０cmの棒と6つの皿を使って、下図のような天びんを利用した両替機を作った。1円玉（１グラム）、5円玉（3.75g）、１０円玉（4.5g）をたくさん用意し、指定された皿にのせた。すると、棒がつりあったときは、左側の３つの皿（皿A〜C）にのっている硬貨の合計金額と、右側の３つの皿（皿D〜F）にのっている硬貨の合計金額が必ず等しくなった。【天びんの作り方】と【天びんの使用方法】を読んで、あとの問いに答えなさい。

【天びんの作り方】
・棒の両はしに糸で皿Aと皿Fをつるした。
・棒の中心から（　1　）cmだけ離れた左右の位置に、皿Bと皿Eをつるした。
・棒の中心から（　2　）cmだけ離れた左右の位置に、皿Cと皿Dをつるした。なお2は１よりも小さい。
・皿がぶつからないように、位置の長さを変えて皿をつるした。
・以上のように６つの皿をつるしたら、棒はつりあった。

【天びんの使用方法】
・（　3　）円玉は、皿Aあるいは皿Fの一方だけにのせることができる。
・（　4　）円玉は、皿Bあるいは皿Eの一方だけにのせることができる。
・（　5　）円玉は、皿Cあるいは皿Dの一方だけにのせることができる。

1 （　１　）〜（　５　）にあてはまる数を答えなさい。
２　棒がつりあったとき、合計金額だけでなく、左側の３つの皿にのっている硬貨の枚数と右側の３つの皿にのっておりう硬貨の合計枚数が等しくなるときがある。このときに使用した硬貨の総枚数（皿A〜Fにある硬貨の合計枚数）が最も少ないときの各硬貨の枚数を答えなさい。
３　硬貨の総枚数が50枚でつりあった。このとき使用した硬貨の総金額（皿A〜Fにある硬貨の合計金額）が最も多い場合と最も少ない場合について、各硬貨の枚数を答えなさい。必要ならば下の図を利用しなさい。

【解説と解答】
１
左と右の合計金額が同じにならなければなりません。
またどの硬貨も左右どちらかの皿に来るので、1円玉、5円玉、10円玉はABCのどれかとDEFのどれかになり、どちらかにしか硬貨を置くことができません。10円玉を両替すると、5円2枚、1円10枚のように枚数が増えますから、一番外側が10円玉、次が5円玉、一番内側が1円玉である必要があります。

10円玉が1枚Aにあるとすると、4.5×20＝90ですから、①×10＝90より①＝9cm　90÷（3.75×2）＝12が②の長さになります。
（答え）1　12　2　9　3　10　4　5　5　1

2　同じ側にあるのが10円玉と1円玉、10円玉と5円玉、5円玉と1円玉である場合があるが、両方とも同じ枚数になることから、同じ側にあるのは10円玉と1円玉である。
10円玉の枚数をA、5円玉の枚数をB、1円玉の枚数をCとすると、
A＋C＝B
10×A＋1×C＝5×B
9×A＝4×Bなので、Aが4枚、Bが9枚、Cが1枚が最小になります。
（答え）10円　4枚　5円　9枚　1円　5枚

3
10円玉の枚数をA、5円玉の枚数をB、1円玉の枚数をCとすると、総額が一番多いというのは10円玉をなるべく多く使ったときになり、総額が1番小さい場合は10円玉をなるべく使わなかったときになります。
10円玉は5円玉2枚、1円玉10枚と釣り合います。同じ側に5円玉と1円玉にすると、10円と5円玉2枚を釣り合わせて、50÷3＝16、から10円玉16枚、5円玉32枚、だと1円玉の使いようがないので、1円玉を10枚、10円玉を1枚にして、残りを5円玉と10円玉に分ければよいので、50－11＝39　39÷3＝13より10円玉14枚、1円玉10枚、5円玉26枚が金額としては最も多くなります。
（最多）10円玉　14枚、5円玉26枚、1円玉10枚
一番金額を少なくするのは10円玉と5円玉を同じ側にすればよく、1枚ずつ置くと、10円玉で10枚、5円玉で5枚ですから、10円玉4枚と5円玉1枚で、10×4＋5×1＋4＋1＝50枚　
（最小）10円玉　4枚　5円玉　1枚　1円玉45枚

「映像教材、これでわかる力のつりあい」（田中貴）

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2016城北中学の問題です。

問1　図のようにおもりをつけたときのバネの全長をそれぞれ求めなさい。

（1）バネの両方にそれぞれ100gのおもりを滑車を通してつるしたとき。

（2）床に置いたバネに100gのおもりを乗せ，300gのおもりを滑車を通して，このおもりにつないだとき。

問2　図のように同じバネ2本をつないで1つのバネとみなすことにします。このバネにおもりをつるしたときのバネの全長に対するのびを表すグラフはどれになりますか。それぞれア～オから選び，記号で答えなさい。
（1）バネ2本を並列につないだときのグラフ。

（2）バネ2本を直列につないだときのグラフ。

【解説と解答】
問1
グラフから自然長が20cmで100gについて2cmのびるバネだということがわかります。
(1)は100gでのびるので、20＋2＝22cm　(2)は差し引き200gでひっぱられているので20＋2×2＝24cm
(1) 22cm (2)24cm

問2
並列のときは、100gあたりに伸びる量が半分になるので、200gで2cm伸びます。
直列のときは、のびる部分が2倍になるので、100gかけると2×2＝4cm伸びます。したがって2cmは50gです。
（1）ア　(2)ウ

「映像教材、これでわかる力のつりあい」（田中貴）

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