2012年麻布中学の問題です。
図のような6つのマス目があり、左上のマス目には1が書かれています。
残りの5マスに2から6までの数字を1つずつ書き入れることを考えます。
ただし、横の3つの数は3で割った余りが異なるように書き入れ、たての2つの数は2で割った余りが異なるように書き入れます。
たとえば、下の図の2つは正しい書き入れ方です。
このとき、以下の問いに答えなさい。
（1）下の図で、残った3つの数字の書き入れ方は何通りですか。
（2）下の図で、残った3つの数字の書き入れ方は何通りですか。
（3）下の図で、残った5つの数字の書き入れ方は何通りですか。
３の剰余系（３で割った時のあまりによる分類）で考えると、０が３と６ １が１と４ ２が２と５です。
同様に２の剰余系では ０が２、４、６ １が１，３，５となります。
（１）上に１、３、５と並んでいますので下は２、４、６と決まっていますが、２、４、６はどう入れても規則を満たします。
したがって３×２×１＝６通り （答え）６通り
（２）下は２、３、４になりますが、６の下に３が来ないといけないので、２、４、３か４、２、３の ２通りになります。
（答え）２通り
（３）（１）と（２）の考え方を延長すればよいことになります。
１の右２つは（３、６）のどちらかと（２、５）のどちらかがはいるので、
（１、３、２）（１、３、５）（１、６、２）（１、６、５）（１、２、３）（１、２、６）（１、５、３）（１、５、６）の８通りあります。
ここで上が（１、３、５）のように全部奇数でそろっていれば、下は６通りあります。
ところが上が奇数２つに偶数１つ、あるいは偶数２つに奇数１つの場合だと２通りしかありません。
例えば上が（１、３、２）だとすれば、２の下には５が入るしかなく、（４、６、５）（６、４、５）の２通りしかないのです。
したがｔって６×２＋２×６＝24通り が答えになります。 （答え）24通り
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