2012年の開成の４番です。
2以上150以下の整数ｎに対して、＜n＞はnの約数の中で2番目に大きい整数を表すことにします。たとえば、6の約数は1、2、3、6なので＜6＞＝3であり、7の約数は1、7なので＜7＞＝1です。
（1）2以上150以下のすべての偶数nに対する＜n＞の和、すなわち、＜2＞＋＜4＞＋＜6＞＋…＋＜150＞を求めなさい。
（2）2以上150以下のすべての3の倍数nに対する＜n＞の和、すなわち、＜3＞＋＜6＞＋＜9＞＋…＋＜150＞を求めなさい。
（3）A/5＝＜A＞、B/7＝＜B＞、C/11＝＜C＞となるような2以上150以下の整数A、B、Cはそれぞれ何個ありますか。
（4）2以上150以下のすべての整数nに対する＜n＞の和、すなわち、＜2＞＋＜3＞＋＜4＞＋…＋＜150＞を求めなさい。
なお、2以上150以下の整数ｎのうち、＜n＞＝1であるものは35個です。
(1)偶数を並べてみましょう。
＜2＞=1 ＜4＞=2 ＜6＞=3 ＜8＞=4 <10>=5 ・・・ ＜148＞＝74 ＜150＞＝75
偶数ですから必ず２で割れて、２で割った商が＜n＞になるので
１＋２＋３＋・・・＋75＝（１＋75）×75÷２＝2850 となります。 （答え）2850
(2)３の倍数はどうなるでしょうか？
＜3＞=1 ＜6＞=3 ＜9＞=3 ＜12＞=6 ＜15＞=5 ＜18＞=9 ＜21＞=7 ＜24＞=12・・・・
奇数の場合は１、３、５、７・・・と奇数の列になっていきますが、偶数の場合は３、６、９、12・・と３の倍数の列になっていくことがわかります。
奇数の場合は２で割れないので、３の倍数であれば最初に３で割れるから３で割った商が並ぶことになるわけですが、偶数の場合は２で先に割れてしまうので、２で割った商が並ぶことになるのです。
したがって場合分けをしましょう。
奇数の場合は３から147まで。（147－３）÷６＋１＝25個 あります。＜147＞＝49 ですから （１＋49）×25÷２＝625
偶数の場合は６から150まで。（150－６）÷６＋１＝25個 あります。＜150＞＝75 ですから （３＋75）×25÷２＝975
合計は625＋975＝1600 （答え）1600
(3)Aは５の倍数です。こうなるためには２でも３でも割れず５で初めて割れなければいけません。
例えば＜5＞=1 10、15、20はだめで ＜25＞＝5 30はだめで次は＜35＞=7 この次は＜55＞です。
つまり、5以上の素数に５をかけた積なので、150÷５＝30から５以上30以下の素数を考えると
５、７、11、13、17、19、23、29になりますから、これに１を加えて ９個になります。
ただし、125は５×５×５ですから＜125＞＝25でこれは該当します。
したがって９＋１＝10
（答え）10個
B/7＝＜B＞は７の倍数ですが、
＜7＞=1 14、21、28 35 42はだめで、＜49＞=7
ここから先は同じですが 150÷７＝21…3なので、
１、７、11、13、17、19 で答えは６個になります。
（答え）６個
C/11=＜C＞で１と11以上の素数に11をかければよいので
１、11、13しかありません。
（答え）３個
(4）
(1)から偶数の和は2850 75個分
(2)から奇数で３の倍数の和は625 25個分 これで100個
奇数で３の倍数でないものを考えていくと
５の倍数が、(3)のAで10個 合計110個
１＋５＋７＋11＋13＋17＋19＋23＋25＋29＝150
７の倍数がBで6個 116個
１＋７＋11＋13＋17＋19＝68
11の倍数がCで3個 合計119個
１＋11＋13＝25
13から先は素数を考えればいいのですが、＜13＞=1 です。
条件から
＜2＞＜3＞＜5＞＜７＞＜11＞と５つありますので、30個で合計149個です。
2850＋625＋150＋68＋25＋30＝3748
(答え）3748
こうやって解いていくと、最後のところで＜ｎ＞=1は35個をこう使うのかあ、ということになってくるでしょう。
（１）から始まってひとつの論理が引き出されていくようにできているところが、なかなか良いな、と思います。
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