2012年武蔵中学の４番です。
赤玉と白玉がそれぞれはじめに１個ずつあります。これに下のＡかＢどちらかの「操作」をくり返し行います。
Ａ：赤玉の個数と同じ数だけ白玉を増やす。
Ｂ：白玉の個数と同じ数だけ赤玉を増やす。
例えば、まずＢを行うことにすると（赤玉２個、白玉１個）になり、これにＡを行うと（赤玉２個、白玉３個）になります。さらにＡを行うと（赤玉２個、白玉５個）になります。この３回の「操作」を左から順に並べてＢＡＡとかくことにします。
（１）ＢＡＡＡＢを行った時、赤玉と白玉はそれぞれ何個になりますか。
（２）何回かの「操作」の後、（赤玉５個、白玉７個）になりました。Ａ、Ｂの「操作」をどのように行いましたか。ＢＡＡのように答えなさい。
（３）赤玉が□個、白玉が△個あるところから、２回「操作」を行った時、（赤玉23個、白玉10個）になりました。□と△にあてはまる数を答えなさい。
（４）何回かの「操作」の後、（赤玉2012個、白玉15個）になりました。このとき行った「操作」の回数は何回ですか。
（１）
順をおって考えましょう。
（１、１）→Ｂ→（２、１）→Ａ→（２、３）→Ａ→（２，５）→Ａ→（２、７）→Ｂ→（９、７）となります。
（答え）（赤玉９個、白玉７個）
（２）
さて上を良く見てみましょう。
Ａの「操作」をした後は必ず白玉が多くなります。またＢの「操作」をした後は必ず赤玉が多くなります。
これはＡの場合は赤と同じ数を白に足すからで、Ｂも同様です。
（５、７）になったということはしたがって白が多くなっていますから、その直前の操作はＡということになります。つまり白を５たしたのですね。
ということはその前は（５、２）だったことになり、これは赤の方が多いですから、その直前はＢの操作であったということになります。
ひとつもどると（３、２）。これもまだ赤が多いですから、その直前の操作はＢだったことになり、（１、２）。今度は白が多くなりましたからその直前の操作はＡです。
したがってＡＢＢＡが答えになります。 （答え）ＡＢＢＡ
（３）
（２）と同様に考えましょう。逆に進んでいきます。
（23、10）→Ｂ→（13、10）→Ｂ→（3、10）
２回の操作ですから、（３、10）がスタートになります。 □＝３ △＝10が答えです。
（答え）□＝３ △＝10
（４）
（2012、15）ですから、ちょっと大変ですね。しばらくはずっとＢが行われていたことになるでしょう。
2012÷15＝134・・・２ですから、134回Ｂが続いていたことになります。
その前は（２、15）になるわけですから、今度もしばらくＡが続いていました。
15÷２＝７・・・１ですから7回Ａをやってその前が（２、１）です。でここでＢを１回やれば（１、１）に戻るので、合計すると１+７+134＝142回「操作」を行ったことになります。
（答え）142回
太線部の点に気が付いてしまえば、簡単な問題といえますが、場合を分けようとすると突破口が見つからなくなります。場合分けをする前に何か、ヒントはないのか？ と立ち止まってみることができれば良いのですが。
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