2016年麻布中学の問題です。

2016は各位の和が9となる4けたの整数です。このような整数を小さい順に並べると次のようになります。

1008、1017、1026、1035、…、9000

　この数の列について、以下の問いに答えなさい。

（1）2016は何番目にありますか。

　この数の列にある整数はすべて9の倍数です。したがって、これらの整数は3で2回以上割り切れることがわかります。例えば、1026を3で割っていくと、

　1026÷3＝342　342÷3＝114　114÷3＝38　　38÷3＝12あまり2

となり、3回目までは割り切れますが4回目は割り切れません。このとき、「1026は3でちょうど3回割り切れる」ということにします。

（2）この数の列の中には、5でちょうど3回割り切れる整数がいくつかあります。それらのうち、最も小さい整数と3番目に小さい整数を答えなさい。

（3）2016は2でちょうど5回割り切れる整数です。このような整数は列の中に2016を除くと3個あります。それらをすべて答えなさい。

【解説と解答】
(1)
1000の位が1の数は、残り3桁の和が8になります。
100の位が0は残り2桁が08、17、26、…、71、80と9個あります。
100の位が1は残り2桁07、16、25…、52、61、70と8個。
100の位が1800が最後ですから、（1＋9）×9÷2＝45個

1000の位が2の数は、残りの3桁の和が7
100の位が0は残り2桁が07、16となるから47番目になります。
（答え）47番目

(2)各位の和が9ですから、9で割り切れます。かつ5で3回割れるので、9×5×5×5＝1125の倍数です。
1125は一番小さな数になります。
1125×2＝2250　1125×3＝3375　1125×4＝4500　なので3番目は4500です。
（答え）最も小さな数が1125　3番目が4500

(3)
2×2×2×2×2＝32なので9×32＝288の倍数になります。これ以上2で割れてはいけないので、
288×3＝864　288×5＝1440　288×7＝2016　288×9＝2592　288×11＝3168　288×13＝3744
288×15＝4320　288×17＝4896　288×19＝5472　288×21＝6048　288×23＝6624
288×25＝7200ですべてです。
（答え）1440、4320、7200

「映像教材、これでわかる数の問題」（田中貴）

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2016年筑波大駒場中学の問題です。

図のように、4桁の数字が表示される、ボタンがついた機械があります。 ボタンをおすと、次の規則にしたがって 、数字が変わ っていきます。

・一の位は、0→1→0→1→…の順で、ボタンを 1回おすごとに、数字が変わ ります。
・十の位は、0→1→2→0→1→2の順で、一の位が 1から 0 に変わるときに、数字が変わ ります。
・百の位は、0→1→2→3→4→0→1→2→3→4→0…の順で、十の位が2から0 に変わるときに、 数字が変わります 。
・ 千の位は、0→1→2→3→4→5→6→0→1→2→3→4→5→6→0…の順で、百の位が4から 0に変わるときに 、数字が変わり ます。

例えば、「0000」 が表示された状態から 、ボタンを 4 回おすと、
「0000」→「0001」 →「0010」 →「0011」→「0020」
のように変わり、表示される数は順に、0、1、10 、11、20です。

次の間いに答えな さい。
(1） 機械に0が表示されています。
この状態から始めて、ボタンを 10回おしたときに表示される数を答えなさい。

(2） 機械に0が表示されています。 この状態から始めて、ボタンを何回かおしたら 、再び0が表示されました。
ボタンを何回おしましたか。考えられる回数のうち、最も小さいものを答えなさい。

(3） 機械に表示できる8の倍数のうち、最も小さい数と最も大きい数を、それぞれ答えなさい 。 ただし、0は8の倍数とみなさないことにします。

(4） 機械に、ある8の倍数が表示されています。 この状態から始めて、ボタンを何回かおしたら 、初めて、別の8の倍数が表示されました。 ボタンを何回おしましたか。考えられる回数をすべて答えなさい。
ただし、0は8の倍数とみなさないことにします。

【解説と解答】
（１）
10の位が0、1、2と動く間、それぞれに1の位は0か1があるので、100の位が1つ動くのには6回ボタンを押さなければなりません。
0000→0001→0010→0011→0020→0021→0100→0101→0110→0111→0120となるので10回目は0120
（答え）0120

（２）
100の位は0、1、2、3、4とあるので1000の位が1つ動くためには6×5＝30回ボタンを押します。
1000の位は7回あるので30×7＝210回です。
（答え）210回

（３）1の位は0か1なので8の倍数は0しかあり得ません。（１）から見て0120が一番小さな8の倍数です。
1000は8の倍数ですから、下3桁が8の倍数であれば良いことになります。
下3桁では
000、001、010、011、020、021
100、101、110、111、120、121
200、201、210、211、220、221
300、301、310、311、320、321
400、401、410、411、420、421
となり下3桁で最も大きい8の倍数は400だから、6400が最大になります。
（答え）最小　120　最大6400

（４）000→120→200→320→400→000ですから000→120までは10回、120→200までは2回、200から320までは10回、320→400までは2回、400→000まで6回ですから、2回、6回、10回が考えられます。
さらに6400から0000が通過するので、6回＋10回＝16回があります。
（答え）2回、6回、10回、16回

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