2016年栄光学園の問題です。

整数のすべての位の数字を足したりかけたりすることを考えます。例えば， 345の場合すべての位の数字を足すと12，かけると60になります。次の問いに答えなさい。
(1) すべての位の数字を足すと， 40になる7ケタの整数を考えます。
(a) 最も大きい整数， 3番目に大きい整数をそれぞれ答えなさい。
(b) 最も小さい整数， 3番目に小さい整数をそれぞれ答えなさい

(2) すべての位の数字をかけると， 96になる4ケタの整数を考えます。最も大きい整数， 3番目に大きい整数をそれぞれ答えなさい。

(3) すべての位の数字を足しでもかけても， 36になる整数があります。それらの整数は何ケタですか。ケタ数として考えられるものをすべて答えなさい。

【解説と解答】
(1)
(a)7桁で一番大きな数は9×7＝63です。なので63－40＝23小さくする必要があるから、１の位を0、10の位を0とすると、18小さくなるので、100の位が9－5＝4になれば良いから、一番大きな数は
9999400です。
次が9999310　3番目は9999301です。
（答え）最大9999400　3番目9999301

(b)7桁で1番小さな数は、1番大きな数から考えて1の位から9を並べていくと4つならびに、あと4ですから、1039999になります。次は1048999、3番目は1049899です。
（答え）最小1039999、3番目1049899

(2)96を素因数分解すると2×2×2×2×2×3になります。これらのうち、いくつかを掛け合わせて最大の1桁の数は2×2×2＝8なので、1000の位は8と決まり、残りは2×2×3ですから、次に大きな1桁の数は6、となるので最大は8621。
次に大きな数は8612、その次は8431になります。
（答え）最大8621　3番目　8431

(3)
36=2×2×3×3　ですから、一番大きな1桁の数9を作ることができます。
9と4とすると合計は13。36－13＝23ですから、23個1を並べて4と9とすると25桁なら和も積も36の数ができます。
次に最大は2＋2＋3＋3＝10だから、36－10＝26　26＋4＝30桁はできます。
9＋2＋2＝13　36－13＝23から26桁はできます。
6＋6＝12　36－12＝24　24＋2＝26桁
6＋3＋2＝11　36－11＝25　25＋3＝28桁
4＋3＋3＝10　36－10＝26　26＋3＝29桁
はできますが、27桁はできません。
（答え）25、26、28、29、30

「映像教材、これでわかる数の問題」（田中貴）

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2016年筑波大駒場の問題です。

水の温度が変わるときのようすを調べるための実験を行った。ビーカー内の水には温度の変化を分かりゃすくするために、40 ℃よりも冷たいときには青色、40 ℃よりも熱いときには赤色に変化する液体を加えてある。以下の各問いに答えなさい。

1. 20 ℃くらいの水が入っているビーカーの一部分をガスバーナーを使っておだやかに熱したとき、どのように色が変化しますか。
ア　C → F → E の順に赤くなる。
イ　C → B → A の順に赤くなる。
ウ　A→ D → E の順に赤くなる。
エ　A→ B → C の順に赤くなる。

2. 50 ℃くらいに温めて全体が赤くなったビーカーに、氷を入れたポリエチレンのふくろをA の部分にうかべて固定した。ビーカー内の液体の色はどのように変化しますか。ただし、ポリエチレンのふくろの位置はA から変わらないものとする。
ア　C → F → E の順に青くなる。
イ　C → B → A の順に青くなる。
ウ　A→ D → E の順に青くなる。
エ　A→ B → C の順に青くなる。

3. 50 ℃くらいに温めて全体が赤くなったビーカーを、図のように手で持ったまま水そうに入れてゆっくりと冷やした。ビーカー内の液体の色はどのように変化しますか。ただし、水そう内には冷たい水が入れてあり、どの部分も同じ温度
であるものとする。
ア　水面（ A とD ） が青くなり、中層（ B とE ）、底（ C とF ） の順に青くなる。
イ　全体がゆっくりと青くなる。
ウ　A→ B → C → F → E → D →A ・・・のように青くなった液体が回転する。
エ底（ C とF ） が青くなり、中層（ B とE ）、水面（ A とD ） の順に青くなる。

【解答と解説】
1
温められたその部分が対流して上に上がっていくのでCBAの順に色が赤く変化していきます。
（答え）イ

２
冷やされた水はそのまま下に降りていくからABCの順に色が青くなっていきます。
（答え）エ

３
全体が冷やされるが、冷やされた水はどんどん下に向かって降りていくので、下から順に冷やされていくことになります。
（答え）エ

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2016年神戸女学院の問題です。

図のような直方体の容器があります。この容器は、容器の底面に垂直で、左右の面に平行に動かすことができる仕切りで2つの部分A、Bに分けられています。AとBに同量の水を入れたところ、水面の高さの比は7：9となりました。次に、仕切りを2cm移動させたところ、AとBの水面の高さの比は3：5となりました。さらに、Bの水を1.2LだけAへ移したところ、水面の高さの差が8cm縮まりました。
なお、容器から水があふれたり、仕切りのすき問から水が移動したりすることはないものとします。

（1）容器の横の長さを求めなさい。
（2）容器のたての長さを求めなさい。

(1)最初に同量の水を入れて、高さの比が7：9になっているので、底面積の比が9：7になっています。
ところが、次に高さが3：5になったので、底面積の比が5：3に変わりました。全体の底面積を16として考えると、10：6になったので、底面積が1増えたことになります。
仕切りが2cm動いていますから面積の差が1の分は横の長さ2cmの違いになるので、2×16＝32cm
（答え）32cm

(2)底面積は5：3の状態ですから、高さは3：5です。1.2L動かすと、8cm縮まったので、Bは5cm縮まったことになりますから、高さ5cm分が1200cm3になります。
Bの横の長さはここでは32÷8×3＝12cmですから、
1200÷5÷12＝20cm
（答え）20cm

「映像教材、これでわかる比と図形」（田中貴）

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