各校の入試問題から」カテゴリーアーカイブ

平面図形に関する問題

四天王寺中学の問題です。


下の図の三角形ABCにおいて、辺BCを3等分する点のうち点Cに近い点をDとし、辺CAを4等分する点のうちもっとも点Cに近い点をE、もっとも点Aに近い点をFとし、辺ABを2等分する点をGとします。また、直線DFと直線EGの交わる点をHとします。

20160614t001

(1)三角形FGDの面積は三角形ABCの面積の何倍ですか。

(2)GH:HEを求めなさい。


(1)
1-\frac{1}{2}×\frac{1}{4}\frac{1}{2}×\frac{2}{3}\frac{1}{3}×\frac{3}{4}=1-\frac{17}{24}=\frac{7}{24}

(答え)\frac{7}{24} 倍

(2)
20160614t002
GからACの中点Iに線を引き、FDとの交点をJとします。
DC=12とすると、JI=4 BC=36 GI=18 GJ=14

20160614t003

またEからBCに平行に線を引き、FDとの交点をKとすると、KE=8

よってGH:HE=GJ:KE=14:8=7:4
(答え)7:4

(おことわり)
現在、GOOはメインテナンスを行っておりますので、6月14日の原稿はメインテナンス終了後にアップします。

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大気圧に関する問題

2016年聖光学院の問題です。


次の文章を読んで、あとの(1)~(6)の問いに答えなさい。
私たちの身のまわりにある最も重要な物質の一つに、水が挙げられます。
私たちがふだん生活している場所では、水(液体)は(あ)℃で氷となり、(い)℃で沸騰します。しかし、場所が変わると水(液体)が沸騰する温度が変わることがあります。例えば富士山の山頂で水を加熱すると、ふだんよりも低い約(う)℃で沸騰します。このように場所によって沸騰する温度が変わるのはなぜでしょうか。
水は、非常に小さな粒が多数集まってできています。この粒のことを「水の分子」とよびます。

この「水の分子」はそれぞれ自由に運動しており、温度が高くなると運動が激しくなり、温度が低くなると運動がおだやかになります。水には、氷(固体)、水(液体)、水蒸気(気体)という3種類の状態があります。氷の中で「水の分子」は、ほとんど運動していませんが、加熱すると、「水の分子」の運動が激しくなり、ある温度で氷は水(液体)に変化します。水(液体)を加熱すると、さらに運動が激しくなり、水蒸気となって水面から飛び出していくものが増えます。このように、水面から「水の分子」が飛び出していく現象を蒸発といいます。その後も加熱し続けると、水(液体)の内部からも蒸発します。この現象を沸騰といいます。
私たちがふだん生活している場所にも、富士山の山頂にも大気がありますが、大気圧は環境によって異なります。実は、水(液体)の中の「水の分子」を押さえつけている力に関係するのが大気圧なのです。押さえつける力が大きいほど「水の分子」の運動が激しくならないと沸騰しませんし、その力が小さければ、「水の分子」の運動がさほど激しくなくても沸騰します。

このような理由で、大気圧が変わると、水が沸騰する温度が変わることになるのです。

(1) 文章中の(あ)と(い)にあてはまる数値をそれぞれ整数で答えなさい。
(2)文章中の(う)の数値として最も適したものを、次の(ア)~(エ)の中から1つ選び、記号で答えなさい。ただし、マッターホルンの山頂では、水は約86℃で沸騰するものとします。
(ア) 73
(イ) 78
(ウ) 83
(エ) 88

(3) 下線部について、富士山の山頂では、普通の方法ではご飯を上手に炊くことができません。ご飯を上手に炊くには最低でも97℃程度の温度が必要になるからです。では、富士山の山頂でご飯を上手に炊くためにはどうすればよいでしょうか。簡単に説明しなさい。ただし、富士山の山頂に電気・ガスは通っていないので炊飯器は使えません。

(4) 図のように、1辺が30cmの立方体の形をした氷に、5kgのおもりを両端につけた釣り糸をかけました。時間が経つとどのようになりますか。最も適したものを、あとの(ア)~(エ)の中から1つ選び、記号で答えなさい。ただし、室温は10℃とします。

20160612t001

(ア)氷が糸で押されることによって氷が融ナ、糸が通ったあとは氷が2つに分かれる。

(イ)氷が糸で押されることによって氷は一時的に融け、糸が通ったあとは再び凍る。

(ウ)氷が糸で押されることによって、氷は粉々に割れる。

(エ)氷が糸で押されることによってさらに氷が硬くなるので、図の状態のまま変わらない。

(5) 水は凍ると密度が小さくなります。また、水の密度は温度によって異なります。水の密度が最も大きくなるのは何。Cのときですか。整数で答えなさい。

(6) 次の(ア)~(エ)の中で正しくないものを1つ選び、記号で答えなさい。
(ア) 冬の目の朝、窓を見ると水滴がついていた。これは、もともと空気中に含まれていた水蒸気が冷やされて水となったためである。
(イ) 冷えたジュースをグラスに注いだら、グラスの表面に水滴がついた。これは、もともと空気中に含まれていた水蒸気が冷やされて水となったためである。
(ウ) 冬の日の朝、洗濯物を外に干すと、洗濯物から白い煙のようなものが出ているようすが観察できる。これは、もともと空気中に含まれていた水蒸気が冷やされて水や氷となったためである。
(エ) ドライアイスを室温で放置すると白い煙のようなものが出ているようすが観察できる。これは、もともと空気中に含まれていた水蒸気が冷やされて水や氷となったためである。

【解説と解答】
(1)水が凍るのは0℃、沸騰するのは100℃です。
(答え)(あ) 0 (い) 100
(2)マッターホルンは富士山よりも高いので、富士山では86℃よりは高くなるはずです。
(答え)エ
(3)内部の圧力を上げれば良いことになります。
(答え)フタの上に重い石をのせるなどして,内部の圧力を大きくして炊く。
(4)ゆっくり切ることになるので、糸が通過した後、また氷はくっつきます。
(答え)イ
(5)密度が一番小さくなるのは4℃です。
(答え)4
(6)正しくないものですからウ。洗濯物の中の水が水蒸気になっていく段階で冷やされて白く見えるのです。
(答え)ウ
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範囲を求める問題

2016年桜蔭中学の問題です。


買い物をするとシールがおまけについてくるお店があります。代金の十の位以下を四捨五入した金額に対し,100円で1枚,200円で2枚,300円で3枚,……のように,100円ごとにおまけのシールの枚数が1枚ずつふえていきます。代金は消費税8%をふくみますが,1円未満は切り捨てて計算します。このとき,次の問いに答えなさい。
(1)税ぬきで240円の品物を買いました。シールは何枚ついてくるか答えなさい。
(2)買い物をしたらシールが5枚ついてきました。いくらの品物を買いましたか。考えられる税ぬきの値段の範囲を答えなさい。
(3)税ぬきで1個170円の品物が3割引になっています。この品物をいくつか買ってシールを10枚つけてほしいと思っています。いくつ買えばよいか答えなさい。ただし,消費税は品物の値段の合計をもとに計算するものとします。


【解説と解答】
(1)
240円で消費税8%ですから、240×1.08=259.2円≒259円
10円台を四捨五入するので、300円となるから3枚です。
(答え)3枚
(2)
シールが5枚ついてきたので、450円以上550円未満、ということになります。
消費税を考えると450÷1.08=416.66666より417円
550÷1.08=509.259259・・・より509円
(答え)417円以上509円以下
(3)
シールが10枚なので、950円以上1050円未満です。
950÷1.08=879.629629・・・
1050÷1.08=972.222・・・
より880円以上972円以下
170円のものが3割引ですから、170×0.7=119
119×7=833
119×8=952
119×9=1071より8個
(答え)8個

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