2014年聖光中学の問題です。

最初に２つの分数、

$$\frac{0}{1}$$、$$\frac{1}{1}$$

が書かれています。この状態から次の規則にしたがって新しい分数を書いていきます。ただし、約分はしないものとし、$$\frac{0}{1}$$や$$\frac{1}{1}$$も分数として考えます。

【規則】２つの分数の間に、分子同士をたしたものを分子に、分母投資をたしたものを分母に持つような分数を書きくわえます。

例えば、この操作を1回行うと、

$$\frac{0}{1}$$、$$\frac{1}{2}$$、$$\frac{1}{1}$$

の３つの分数が書かれ、この操作を2回行うと、

$$\frac{0}{1}$$、$$\frac{1}{3}$$、$$\frac{1}{2}$$、$$\frac{2}{3}$$、$$\frac{1}{1}$$

の5つの分数が書かれます。このとき、次の問いに答えなさい。

（1）この操作を5回行った時、左から12番目の分数を答えなさい。

（2）この操作を10回行った時、
1　分数は全部で何個できますか。
2　分母が最大となるような分数のうち、分子が最も小さい分数を答えなさい。
3　分母が最大となるような分数のうち、分子が最も小さい分数は左から何番目にありますか。

（1）まずは素朴にやってみましょう。

１回目　$$\frac{0}{1}$$、$$\frac{1}{2}$$、$$\frac{1}{1}$$　と分数は3個

２回目　$$\frac{0}{1}$$、$$\frac{1}{3}$$、$$\frac{1}{2}$$、$$\frac{2}{3}$$、$$\frac{1}{1}$$　分数は5個

３回目　$$\frac{0}{1}$$、$$\frac{1}{4}$$、$$\frac{1}{3}$$、$$\frac{2}{5}$$、$$\frac{1}{2}$$、$$\frac{3}{5}$$、$$\frac{2}{3}$$、$$\frac{3}{4}$$、$$\frac{1}{1}$$　分数は9個

４回目　$$\frac{0}{1}$$、$$\frac{1}{5}$$、$$\frac{1}{4}$$、$$\frac{2}{7}$$、$$\frac{1}{3}$$、$$\frac{3}{8}$$、$$\frac{2}{5}$$、$$\frac{3}{7}$$、$$\frac{1}{2}$$、$$\frac{4}{7}$$、$$\frac{3}{5
}$$、$$\frac{5}{8}$$、$$\frac{2}{3}$$、$$\frac{5}{7}$$、$$\frac{3}{4}$$、$$\frac{4}{5}$$、$$\frac{1}{1}$$　分数は17個

ということは、各回とも$$\frac{1}{1}$$をのぞいてその右側に新しい数字ができるので、5回目の左から12番目は4回目の左から6番目の右側にできます。これは$$\frac{3}{8}$$と$$\frac{2}{5}$$の間ですから、$$\frac{5}{13}$$

（答え）$$\frac{5}{13}$$

（2）
1　1回目が3個、2回目が5個、3回目が9個、でそれぞれの回の個数の1小さい数を加えたものが次の回の個数になります。
もしくは前の個数の2倍－1という規則でも計算できるでしょう。
つまり2回目は3＋2、3回目は5＋4、4回目は9＋8　5回目は17＋16、6回目は33＋32、7回目は65＋64、8回目は129＋128、9回目は257＋256、10回目は513＋512＝1025個です。
（答え）1025個

2　最大の分母は1回目が2、2回目が3、3回目が5、4回目は8で、5回目は13です。ここから、最大の数は前2つの和であることがわかります。
したがって6回目は21、7回目は34、8回目は55、9回目は89、10回目は144です。

また最大の分母に対して最小の分子は
1回目が1、2回目が1、3回目が2、4回目が3、5回目が5とこれも、前2つの和になります。
したがって6回目が8、7回目が13、8回目が21、9回目が34、10回目が55となるので、分数は$$\frac{55}{144}$$です。

（答え）$$\frac{55}{144}$$

3　最大の分母と最小の分子は
1回目は左から2番目、2回目も左から2番目、3回目は4番目、4回目は6番目、5回目は12番目です。
偶数回目のときは、前回の数の左側にでき、奇数回のときは前回の数の右側にできています。
したがって偶数回の時は（前回の個数－1）×2、奇数回のときは前回の個数×2
6回目は22番目、7回目は44番目、8回目は86番目、9回目は172番目、10回目は342番目

（答え）342番目

「映像教材、これでわかる数の問題」（田中貴）

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中学受験は首都圏、関西圏、中京圏がメイン地域ではあるものの、各都道府県にはそれぞれ私立の中高一貫校があるところもあり中学受験は行われています。

しかし地域によって受験校のレベルはいろいろあるので、やはりもう少し高い学校を目標にしたい、ということで首都圏や関西圏の学校を狙う子どもたちもいるわけですが、これらの子どもたちにとって問題なのは入学後の住居。

私立中高一貫校で寮を持っている学校はあまり多くはありません。首都圏や関西圏の学校ではとくに数が少ない。寮がないと、保護者が中学生の間はやはり一緒にいなければいけないので、お母さんが上京するという場合もあるでしょうが、しかし、それは家族にとってなかなかの負担になります。

そこでやはり寮のある学校を選ぶ場合が出てくるのです。

一般に首都圏や関西圏で寮のある学校の入試が行われますが、首都圏や関西圏の受験生の多くはお試し受験として参加しているでしょう。

しかし、これらの受験で地方の子どもたちが寮のある学校をめざしている部分もあるのです。

したがって地方の中学が東京入試、関西入試を行うのは、もちろん知名度を上げるということもあるが、実際に入学者を迎えている入試なのです。

首都圏と地方の教育の差が付き始めている感がある今日、かなり家庭にとっては負担が大きいが中学受験を進めているご家庭も少なくありません。

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昔、私立の先生と話をしたとき、こんな話題になりました。

「今の子どもたちは中学受験の塾に早くから行っているので、受験勉強の期間自体は長いんですが、やることを指示されているから、自分で何かアクションを起こす、ということに慣れていない。だから最初の中間テストなんかは何をしていいのかわからない子が結構いるのです。例えば英語なんかも先生から覚えろ、と言われないと単語を覚えない、という子がほとんど。やっぱり与えられていると、自分で考えなくなるんですよ。」

では、以前はどうしていたのでしょうか？

ズバリ言えばほっといていたのです。

もちろん見ていたのは見ていたが、自分で気が付くまでほっといていた。

少なくとも自分でアクションを起こして「どうやって勉強すればいいですか？」と聞きにくるまでは教えない、みたいなところがあったわけです。まあ、いくら先生が言っても結局のところ、自分で感じないとできないという前提があったと思います。

しかし、今の子どもたちは指示されることになれているから、指示されて別に反抗するということはなくなってきた。むしろ、ほっといている、ということ自体が問題になってきています。

で、学校はどうしたのか？

塾と同じようになってきている、というのが現実でしょうか。例えば私学で冷房のない学校というのは、あまりみかけない。だから、夏休み中でもしっかり勉強ができるのです。というので、この夏休み中に夏期講習があった学校は少なくありません。

学校で夏期講習、は今や当たり前になってきているのです。

つまり、またまた子どもたちは指示をもらうことになるわけで、これは問題解決能力を付ける、という点において、果たしてどうなのか、とちょっと考えさせられています。

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