2014年聖光中学の問題です。
最初に２つの分数、
$$\frac{0}{1}$$、$$\frac{1}{1}$$
が書かれています。この状態から次の規則にしたがって新しい分数を書いていきます。ただし、約分はしないものとし、$$\frac{0}{1}$$や$$\frac{1}{1}$$も分数として考えます。
【規則】２つの分数の間に、分子同士をたしたものを分子に、分母投資をたしたものを分母に持つような分数を書きくわえます。
例えば、この操作を1回行うと、
$$\frac{0}{1}$$、$$\frac{1}{2}$$、$$\frac{1}{1}$$
の３つの分数が書かれ、この操作を2回行うと、
$$\frac{0}{1}$$、$$\frac{1}{3}$$、$$\frac{1}{2}$$、$$\frac{2}{3}$$、$$\frac{1}{1}$$
の5つの分数が書かれます。このとき、次の問いに答えなさい。
（1）この操作を5回行った時、左から12番目の分数を答えなさい。
（2）この操作を10回行った時、
1 分数は全部で何個できますか。
2 分母が最大となるような分数のうち、分子が最も小さい分数を答えなさい。
3 分母が最大となるような分数のうち、分子が最も小さい分数は左から何番目にありますか。
（1）まずは素朴にやってみましょう。
１回目 $$\frac{0}{1}$$、$$\frac{1}{2}$$、$$\frac{1}{1}$$ と分数は3個
２回目 $$\frac{0}{1}$$、$$\frac{1}{3}$$、$$\frac{1}{2}$$、$$\frac{2}{3}$$、$$\frac{1}{1}$$ 分数は5個
３回目 $$\frac{0}{1}$$、$$\frac{1}{4}$$、$$\frac{1}{3}$$、$$\frac{2}{5}$$、$$\frac{1}{2}$$、$$\frac{3}{5}$$、$$\frac{2}{3}$$、$$\frac{3}{4}$$、$$\frac{1}{1}$$ 分数は9個
４回目 $$\frac{0}{1}$$、$$\frac{1}{5}$$、$$\frac{1}{4}$$、$$\frac{2}{7}$$、$$\frac{1}{3}$$、$$\frac{3}{8}$$、$$\frac{2}{5}$$、$$\frac{3}{7}$$、$$\frac{1}{2}$$、$$\frac{4}{7}$$、$$\frac{3}{5
}$$、$$\frac{5}{8}$$、$$\frac{2}{3}$$、$$\frac{5}{7}$$、$$\frac{3}{4}$$、$$\frac{4}{5}$$、$$\frac{1}{1}$$ 分数は17個
ということは、各回とも$$\frac{1}{1}$$をのぞいてその右側に新しい数字ができるので、5回目の左から12番目は4回目の左から6番目の右側にできます。これは$$\frac{3}{8}$$と$$\frac{2}{5}$$の間ですから、$$\frac{5}{13}$$
（答え）$$\frac{5}{13}$$
（2）
1 1回目が3個、2回目が5個、3回目が9個、でそれぞれの回の個数の1小さい数を加えたものが次の回の個数になります。
もしくは前の個数の2倍－1という規則でも計算できるでしょう。
つまり2回目は3＋2、3回目は5＋4、4回目は9＋8 5回目は17＋16、6回目は33＋32、7回目は65＋64、8回目は129＋128、9回目は257＋256、10回目は513＋512＝1025個です。
（答え）1025個
2 最大の分母は1回目が2、2回目が3、3回目が5、4回目は8で、5回目は13です。ここから、最大の数は前2つの和であることがわかります。
したがって6回目は21、7回目は34、8回目は55、9回目は89、10回目は144です。
また最大の分母に対して最小の分子は
1回目が1、2回目が1、3回目が2、4回目が3、5回目が5とこれも、前2つの和になります。
したがって6回目が8、7回目が13、8回目が21、9回目が34、10回目が55となるので、分数は$$\frac{55}{144}$$です。
（答え）$$\frac{55}{144}$$
3 最大の分母と最小の分子は
1回目は左から2番目、2回目も左から2番目、3回目は4番目、4回目は6番目、5回目は12番目です。
偶数回目のときは、前回の数の左側にでき、奇数回のときは前回の数の右側にできています。
したがって偶数回の時は（前回の個数－1）×2、奇数回のときは前回の個数×2
6回目は22番目、7回目は44番目、8回目は86番目、9回目は172番目、10回目は342番目
（答え）342番目
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