規則性に関する問題

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2014年聖光中学の問題です。


最初に2つの分数、

$$\frac{0}{1}$$、$$\frac{1}{1}$$

が書かれています。この状態から次の規則にしたがって新しい分数を書いていきます。ただし、約分はしないものとし、$$\frac{0}{1}$$や$$\frac{1}{1}$$も分数として考えます。

【規則】2つの分数の間に、分子同士をたしたものを分子に、分母投資をたしたものを分母に持つような分数を書きくわえます。

例えば、この操作を1回行うと、

$$\frac{0}{1}$$、$$\frac{1}{2}$$、$$\frac{1}{1}$$

の3つの分数が書かれ、この操作を2回行うと、

$$\frac{0}{1}$$、$$\frac{1}{3}$$、$$\frac{1}{2}$$、$$\frac{2}{3}$$、$$\frac{1}{1}$$

の5つの分数が書かれます。このとき、次の問いに答えなさい。

(1)この操作を5回行った時、左から12番目の分数を答えなさい。

(2)この操作を10回行った時、
1 分数は全部で何個できますか。
2 分母が最大となるような分数のうち、分子が最も小さい分数を答えなさい。
3 分母が最大となるような分数のうち、分子が最も小さい分数は左から何番目にありますか。


(1)まずは素朴にやってみましょう。

1回目 $$\frac{0}{1}$$、$$\frac{1}{2}$$、$$\frac{1}{1}$$ と分数は3個

2回目 $$\frac{0}{1}$$、$$\frac{1}{3}$$、$$\frac{1}{2}$$、$$\frac{2}{3}$$、$$\frac{1}{1}$$ 分数は5個

3回目 $$\frac{0}{1}$$、$$\frac{1}{4}$$、$$\frac{1}{3}$$、$$\frac{2}{5}$$、$$\frac{1}{2}$$、$$\frac{3}{5}$$、$$\frac{2}{3}$$、$$\frac{3}{4}$$、$$\frac{1}{1}$$ 分数は9個

4回目 $$\frac{0}{1}$$、$$\frac{1}{5}$$、$$\frac{1}{4}$$、$$\frac{2}{7}$$、$$\frac{1}{3}$$、$$\frac{3}{8}$$、$$\frac{2}{5}$$、$$\frac{3}{7}$$、$$\frac{1}{2}$$、$$\frac{4}{7}$$、$$\frac{3}{5
}$$、$$\frac{5}{8}$$、$$\frac{2}{3}$$、$$\frac{5}{7}$$、$$\frac{3}{4}$$、$$\frac{4}{5}$$、$$\frac{1}{1}$$ 分数は17個

ということは、各回とも$$\frac{1}{1}$$をのぞいてその右側に新しい数字ができるので、5回目の左から12番目は4回目の左から6番目の右側にできます。これは$$\frac{3}{8}$$と$$\frac{2}{5}$$の間ですから、$$\frac{5}{13}$$

(答え)$$\frac{5}{13}$$

(2)
1 1回目が3個、2回目が5個、3回目が9個、でそれぞれの回の個数の1小さい数を加えたものが次の回の個数になります。
もしくは前の個数の2倍-1という規則でも計算できるでしょう。
つまり2回目は3+2、3回目は5+4、4回目は9+8 5回目は17+16、6回目は33+32、7回目は65+64、8回目は129+128、9回目は257+256、10回目は513+512=1025個です。
(答え)1025個

2 最大の分母は1回目が2、2回目が3、3回目が5、4回目は8で、5回目は13です。ここから、最大の数は前2つの和であることがわかります。
したがって6回目は21、7回目は34、8回目は55、9回目は89、10回目は144です。

また最大の分母に対して最小の分子は
1回目が1、2回目が1、3回目が2、4回目が3、5回目が5とこれも、前2つの和になります。
したがって6回目が8、7回目が13、8回目が21、9回目が34、10回目が55となるので、分数は$$\frac{55}{144}$$です。

(答え)$$\frac{55}{144}$$

3 最大の分母と最小の分子は
1回目は左から2番目、2回目も左から2番目、3回目は4番目、4回目は6番目、5回目は12番目です。
偶数回目のときは、前回の数の左側にでき、奇数回のときは前回の数の右側にできています。
したがって偶数回の時は(前回の個数-1)×2、奇数回のときは前回の個数×2
6回目は22番目、7回目は44番目、8回目は86番目、9回目は172番目、10回目は342番目

(答え)342番目

「映像教材、これでわかる数の問題」(田中貴)

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