2016年栄光学園の問題です。

整数のすべての位の数字を足したりかけたりすることを考えます。例えば， 345の場合すべての位の数字を足すと12，かけると60になります。次の問いに答えなさい。
(1) すべての位の数字を足すと， 40になる7ケタの整数を考えます。
(a) 最も大きい整数， 3番目に大きい整数をそれぞれ答えなさい。
(b) 最も小さい整数， 3番目に小さい整数をそれぞれ答えなさい

(2) すべての位の数字をかけると， 96になる4ケタの整数を考えます。最も大きい整数， 3番目に大きい整数をそれぞれ答えなさい。

(3) すべての位の数字を足しでもかけても， 36になる整数があります。それらの整数は何ケタですか。ケタ数として考えられるものをすべて答えなさい。

【解説と解答】
(1)
(a)7桁で一番大きな数は9×7＝63です。なので63－40＝23小さくする必要があるから、１の位を0、10の位を0とすると、18小さくなるので、100の位が9－5＝4になれば良いから、一番大きな数は
9999400です。
次が9999310　3番目は9999301です。
（答え）最大9999400　3番目9999301

(b)7桁で1番小さな数は、1番大きな数から考えて1の位から9を並べていくと4つならびに、あと4ですから、1039999になります。次は1048999、3番目は1049899です。
（答え）最小1039999、3番目1049899

(2)96を素因数分解すると2×2×2×2×2×3になります。これらのうち、いくつかを掛け合わせて最大の1桁の数は2×2×2＝8なので、1000の位は8と決まり、残りは2×2×3ですから、次に大きな1桁の数は6、となるので最大は8621。
次に大きな数は8612、その次は8431になります。
（答え）最大8621　3番目　8431

(3)
36=2×2×3×3　ですから、一番大きな1桁の数9を作ることができます。
9と4とすると合計は13。36－13＝23ですから、23個1を並べて4と9とすると25桁なら和も積も36の数ができます。
次に最大は2＋2＋3＋3＝10だから、36－10＝26　26＋4＝30桁はできます。
9＋2＋2＝13　36－13＝23から26桁はできます。
6＋6＝12　36－12＝24　24＋2＝26桁
6＋3＋2＝11　36－11＝25　25＋3＝28桁
4＋3＋3＝10　36－10＝26　26＋3＝29桁
はできますが、27桁はできません。
（答え）25、26、28、29、30

「映像教材、これでわかる数の問題」（田中貴）

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入試問題をひもといていると、結構似たような問題に出会うことがあります。

これがいわゆる基礎。問われることが多い、ということは重要であり、またできなければいけない、という項目なのです。これはできて当たり前です。できないといけない。

でも、特に心配する必要もないでしょう。特に知識の場合、塾の暗記テキストにこういう項目はちゃんと載っている。

したがって暗記テキストを覚えればいいだけです。

特に暗記テキストのお勧めはしませんが、しかし、1冊これだ、と思うものを繰り返し勉強してください。

覚えたから、違う本をやろう、というよりは、同じ問題を繰り返した方が良い。

当たり前ですが、繰り返すことで覚えるようになっていくのです。だからまず1冊。ここに書いてあることは全部覚えた、という自信がつけば良いのです。

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2016年筑波大駒場の問題です。

水の温度が変わるときのようすを調べるための実験を行った。ビーカー内の水には温度の変化を分かりゃすくするために、40 ℃よりも冷たいときには青色、40 ℃よりも熱いときには赤色に変化する液体を加えてある。以下の各問いに答えなさい。

1. 20 ℃くらいの水が入っているビーカーの一部分をガスバーナーを使っておだやかに熱したとき、どのように色が変化しますか。
ア　C → F → E の順に赤くなる。
イ　C → B → A の順に赤くなる。
ウ　A→ D → E の順に赤くなる。
エ　A→ B → C の順に赤くなる。

2. 50 ℃くらいに温めて全体が赤くなったビーカーに、氷を入れたポリエチレンのふくろをA の部分にうかべて固定した。ビーカー内の液体の色はどのように変化しますか。ただし、ポリエチレンのふくろの位置はA から変わらないものとする。
ア　C → F → E の順に青くなる。
イ　C → B → A の順に青くなる。
ウ　A→ D → E の順に青くなる。
エ　A→ B → C の順に青くなる。

3. 50 ℃くらいに温めて全体が赤くなったビーカーを、図のように手で持ったまま水そうに入れてゆっくりと冷やした。ビーカー内の液体の色はどのように変化しますか。ただし、水そう内には冷たい水が入れてあり、どの部分も同じ温度
であるものとする。
ア　水面（ A とD ） が青くなり、中層（ B とE ）、底（ C とF ） の順に青くなる。
イ　全体がゆっくりと青くなる。
ウ　A→ B → C → F → E → D →A ・・・のように青くなった液体が回転する。
エ底（ C とF ） が青くなり、中層（ B とE ）、水面（ A とD ） の順に青くなる。

【解答と解説】
1
温められたその部分が対流して上に上がっていくのでCBAの順に色が赤く変化していきます。
（答え）イ

２
冷やされた水はそのまま下に降りていくからABCの順に色が青くなっていきます。
（答え）エ

３
全体が冷やされるが、冷やされた水はどんどん下に向かって降りていくので、下から順に冷やされていくことになります。
（答え）エ

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