立体を切断する問題

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2013年浅野中学の問題です。


図1のような、1辺の長さ4cmの正方形を底面とし、高さが8㎝の正四角すいA-BCDEがあります。辺ADを2等分する点をPとし、辺AEを2等分する点をQとし、四角形BCPQでこの立体を切断します。次の各問いに答えなさい。

図1

(1)四角形BCPQの面積は何cm2ですか。ただし、図2のような3辺の長さが3cm、4cm、5cmの三角形は直角三角形になります。

図2

(2)2つに分けられた立体のうち、下側の立体(底面BCDEを含む方の立体)の体積は何cm3ですか。


(解説と解答)
(1)
図3のようにBCの中点をF、EDの中点をG、QPの中点をRとして三角形AFGを考えます。
このとき、FRは台形BCPQの高さになります。

図3

AからFGの中点であるHに垂線を下ろし、FRとの交点をI、RからFGに平行に線を引き、AHとの交点をJとするとAR:RG=1:1ですから、JRの長さは1cmになります。

RからAHに平行に線を引きFGとの交点をKとするとHK=1cm、FK=3cm、RK=JH=8÷2=4cmです。

したがって三角形RFKは3:4:5の直角三角形になるので、FR=5cm

四角形BCPQの面積は(2+4)×5÷2=15cm2になります。
(答え)15cm2

(2)図4のように下の部分を3つに切ります。QP=SM=LO=2cm MD=ES=LC=BO=1cmです。

図4

このとき、四角すいP-LCMDと四角すいQ-BOSEは同じになり、体積の合計は4×1×4÷3×2=32/3

真ん中の部分は三角柱となり三角形PLMはLMを底辺としたとき、高さは4cmですから、

4×4÷2×2=16

したがって合計は10 2/3 +16=26 2/3

(答え)26 2/3 cm3

「映像教材、これでわかる比と図形」(田中貴)

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