2014年攻玉社中学の問題です。
次の図について後の問いに答えなさい。
1辺の長さが30cmの正方形ABCDがあります。図の●は、辺ABと辺CDをそれぞれ3等分する点です。また点Gは辺CDの真ん中の点です。このとき、正方形の頂点やいくつかの点を図のようにむすび、交わったところの点を図のように、H、I、K、Lとします。
（１）点Gと点Hを直線でむすんだときの、GHの長さは何cmですか。
（２）次の比を求めなさい。
1 HL：LD
2 EK：KD
3 EI：IF
（３）点Eと点Lを結んだときのELの長さを求めなさい。
（４）四角形EKLIの面積を求めなさい。
【解説と解答】
（１）三角形DHGと三角形DBCは相似で、その比が１：2になるので、HG＝30÷2＝15cm
（答え）15cm
（２）
1 三角形ALDと三角形LHGの相似からHL：LD＝15：30＝1：2
（答え）1：2
2 三角形AEKと三角形KDGの相似からEK：KD＝10：15＝2：3
（答え）2：3
3 三角形EBIと三角形IFGの相似からEI：IF＝EB：GF＝20：5＝4：1
（答え）4：1
（３）
三角形EBLと三角形ABDの相似からEL＝30÷3×2＝20cm
（答え）20cm
（４）
三角形EFD＝20×30÷2＝300cm2
EH：HF＝1：1より三角形EHD＝300÷2＝150cm2
EK：KD＝2：3 HL：LD＝1：2より四角形EHLKは
150×（1-$$\frac{3}{5}$$×$$\frac{2}{3}$$）＝15０×$$\frac{3}{5}$$＝90cm2
HL：LD＝1：2
EH：HF＝1：1 EI：IF＝4：1よりHI：IF＝1.5：1＝3：2
三角形HLI＝150×$$\frac{1}{3}$$×$$\frac{3}{5}$$＝30cm2
したがって四角形EKLI＝90＋30＝120cm2
（答え）120cm2
「映像教材、これでわかる比と図形」（田中貴）
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