2014晃華学園の問題です。

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もののつりあいについて、次の各問いに答えなさい。ただし、同じ形のおもりは同じ重さで、棒、滑車、ひもの重さは考えないものとする。

問1　図1のように、丸のおもりと四角のおもりをつり下げた棒が水平な状態にある。図2、3のようにおもりを付けかえても、棒は水平になった。
（1）アとイの長さの比はどのようになるか、最も簡単な整数で答えなさい。
（2）三角のおもりの重さは四角のおもりの重さの何倍か、答えなさい。

問2（1）図4のようにBのおもりを下から手で支え、AとCのおもりが同じ高さを保つようにしたとき、棒の傾きはどのようになるか。次の（ア）～（ウ）の中から選び、記号で答えなさい。

　　（ア）水平である　（イ）左にかたむく　（ウ）右にかたむく

（2）図5のようにCのおもりを引いて、AとCのおもりが同じ高さを保つようにしたとき、棒の傾きはどのよう、になるか、（1）の（ア）～（ウ）の中から選び、記号で答えなさい。

問3　図6のように、2個の台ばかりAとBに長さ100cm、重さ360gの板をのせ、カメを板の左はしのC点のところに置いたら、右はしのD点に向かって歩き始めた。

（1）横軸にC点からカメまでのきょり、縦軸に台ばかりBの値をとると、どのようなグラフになるか、次の（ア）～（エ）の中から選び、記号で答えなさい。

（2）図7のようにC点とD点の真ん中にカメがきたとき、台ばかりAとBはともに305gを示した。カメの重さは何gか、答えなさい。

問4 100gのおもりをつり下げると20cmのびるばねがある。図8のように、このばねと滑車と、おもりAとBをセットする。ただし、支えの重さは考えないものとする。

（1）ばねは何cmのびるか、答えなさい。

（2）Aのおもりを240gにして、Bのおもりも付けかえたところ、ばねは16cmのびた。
　Bのおもりの重さは何gか、答えなさい。

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問1
（1）図1から○：□＝3：2であることが読み取れます。
図2はおもりの重さの比が3：2×2＝3：4ですから長さの比は4：3になります。
【答え】4：3

（2）図3から左の重さは3×2＝6　右側の□は2ですから、△は6－2＝4になります。
4÷2＝2倍です。
【答え】2倍

問2
（1）図3でAとCの高さを同じにすると棒の左側には2個分の重さしかかからなくなるので、右側に傾きます。
【答え】ウ

（2）図5では滑車の右側にも2個分の重さがかかっているので、棒の左側には4個分の重さがかかります。
したがって今度は左に傾きます。
【答え】イ

問3
（1）最初カメの重さは全部Aにあります。それがだんだんAが少なくなってBに行き、最後全部Bに行って終わります。
板の重さが360gですから、最初Bは180gなので、エが正しくなります。
【答え】エ

（2）305×2＝610gがカメ＋板になるので610－360＝250gがカメの重さです。
【答え】250g

問4
（1）Aをつるす滑車の右側には200÷2＝100gの重さがかかるので、Bがつるされている糸は上に100g引っ張られます。
そのうち25gが下にかかっているので、ばねは100－25＝75gで引かれますから。
75÷100×20＝15cmのびます。
【答え】15cm

（2）Aを240gにすると120gでBの糸は上に引っ張られます。
ばねが16㎝伸びているので、16÷20×100＝80gの力がばねにはかかっていますから、
120－80＝40gがBの重さになります。
【答え】40g

「映像教材、これでわかる力のつりあい」（田中貴）

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2014年筑波大駒場の問題です。

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長さ40cmの棒、いろいろな重さのおもり、じょうぶな糸を用意し、図1のような装置を組み立てた。棒の左はしAに結ばれている糸でおもり1をつるし、位置BとCに結ばれている糸で棒を上からつるした。この装置を使って、次の4つの実験を行った。文中の（1）～（6）に入る数を答えなさい。

【実験1】　図1で、おもり1の重さを変えて棒のようすを観察した。すると、重さが70～210グラムのときだけ、棒は水平のままだった。しかし、70グラムより軽いときはCを支点として棒の右はしDが下がり、210グラムより重いときはBを支点として棒の左はしAが下がり、棒はかたむいてしまった。

【実験2】図2のように、棒の右はしのから15cmの位置に30グラムのおもりをつるし、おもり1の重さをいろいろ変えて棒のようすを観察した。すると、おもり1の重さが（1）～（2）グラムのときだけ、棒は水平のままだった。

【実験3】　図3のように、30グラムのおもりをつるす位置をCからDの間で自由に移動させ、棒のようすを観察した。すると、おもり1の重さが（3）～（4）グラムのときだけ、棒はずっと水平のままだった。

【実験4】　図4のように、（5）グラムのおもり2を用意し、つるす位置をCからりの問で自由に移動させ、棒のようすを観察した。すると、おもり1の重さが（6）グラムのときだけ、棒はずっと水平のままだった。

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【解説と解答】
【実験1】から棒の重さと重心の位置を計算します。
今棒の重さを【1】、Aからの重心の位置を〈1〉とすると、
210gのとき、Bを支点としてつりあうので210×10＝【1】×（〈1〉－10）
70gのとき、cを支点としてつりあうので70×15＝【1】×（〈1〉－15）

2100：1050＝2：1ですから〈1〉－10：〈1〉－15＝2：1より差が5cmだから〈1〉－15＝5cm
重心の位置はAから20㎝で、棒の重さは210gであることがわかります。

【実験2】から、Bを支点としたとき、時計回りの回転力は
210×10＋30×15＝2100＋450＝2550　このときおもり１は255gで釣り合います。
Cを支点としたとき、時計回りの回転力は
210×5＋30×10＝1050＋300＝1350　1350÷15＝90gがおもり１の重さになります。

したがって(1)が90g　（2）が255gです。

【実験3】
30gのおもりがDにきたとき、支点Cで釣り合う重さ以上で、
30gのおもりがCにきたとき、支点Bで釣り合う重さ以下でであれば、かならず水平になります。

30gのおもりがDにあるとき、Cを支点としてつりあるおもり1の重さは
30×25＋210×5＝750＋1050＝1800
1800÷15＝120gになります。

おもりがCに来たとき、Bを支点としてつりあうおもり１の重さは
30×5＋210×10＝150＋2100＝2250　2250÷10＝225gです。

以上からおもりが120ｇ以上225g以下であれば水平です。

（3）120g (4) 225g

【実験4】
おもり2の重さを【1】としたとき、このおもりがDにいて、支点Cでつりあうおもり1の重さは
（【1】×25＋210×5）÷15＝【$$\frac{5}{3}$$】＋70
またおもり2がCにいて、支点Bでつりあうおもり1の重さは
（【1】×5＋210×10）÷10＝【0.5】＋210
よりこれが等しいので、

【$$\frac{5}{3}$$】＋70 ＝【0.5】＋210　【$$\frac{7}{6}$$】＝140より【1】＝120

120×0.5＋210＝270g

（5）120g　（6）270g

「映像教材、これでわかる力のつりあい」（田中貴）

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2013年　浅野中学の問題です。

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　次の文章を読んで、後の（１）～（５）の問いに答えなさい。
　重さの等しい、長さ100cmの2本の棒A、棒Bがあります。2本の棒を図１のように棒の中心に糸をつけて持ち上げると、棒Aはつり合って静止しましたが、棒Bはすぐに傾いてしまいました。棒Bの下になる方の端をCとします。

図１

　ただし、おもりと棒をつないでいる糸、棒を持ち上げるためにつなぐ糸の重さは考えないものとします。

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（１）図２のように棒Aの左端に100gのおもりをつるし、左端から40cmのところに糸をつけて持ち上げると、棒Aはつり合いました。棒Aの重さは何gですか。

図２

(解説と解答）
棒の長さは100cmですから、左から50㎝のところに重心があります。
左から40㎝のところに糸をつるしていますので、
100×40＝10×棒Aの重さになるから、棒Aの重さは4000÷10＝400gになります。
（答え）400g

（２）図３－１のように棒Bの左端に160gのおもりをつるし、棒の中心に糸をつけて持ち上げると、棒はつり合いました。次に、おもりを取り除き、糸をつける位置をかえて［図３－２］のようにつり合わせるためには、Cから何cmのところに糸をつければよいですか。

(解説と解答）
棒Bの重心は真ん中にはありません。（１）から棒Bの重さも400gとわかっていますから、中心から右にｘcmのところに棒Bの重心があるとすると、
160×50＝400×X　が成り立ちます。
したがって8000÷400＝20cmが棒Bの重心です。重心にひもをつければ水平になるので、したがって50－20＝30cmのところでつりあいます。

（答え）30cm

（３）図４のように、棒BのCには160gのおもりを、反対の端にはある重さのおもりDをそれぞれつるします。糸をCから45cmのところにつけ、棒を持ち上げたところ棒はつり合って静止しました。おもりDは何gですか。

図４

(解説と解答）
糸をつけたところを支点として考えます。重心はCから30cmのところですから、この場合は支点から45－30＝15cmです。
したがって支点を中心に反時計回りの回転力は160×45＋400×15＝7200＋6000＝13200です。

この回転力をおもりDで支えますから、100－45＝55cmがおもりDから支点までの距離になるので、
13200÷55＝240gがおもりDの重さになります。

（答え）240g

（４）図５のように、棒BのCには200gのおもりを、反対の端には600gのおもりをそれぞれつるして、棒をつり合わせるためには、Cから何cmのところに糸をつければよいですか。

図５

（解説と解答）

支点をCで考えてみましょう。

棒Bの重心はCから30cmのところにありますから、反時計回りの回転力は重心と左端の600gのおもりになるので、
400×30＋600×100＝12000＋60000＝72000の回転力があります。
また下向きの力は600＋400＋200＝1200ですから、72000÷1200＝60cmで、Cから60cmのところにひもをつるせばよいことになります。

（答え）60cm

（５）（４）の状態で、600gのおもりを水の入ったビーカーの中に沈めると、棒Bは傾き始めました。これは600gのおもりに浮力がはたらくためです。
棒Bにつける糸の位置を棒の中心に移すと、棒Bは図６のように水平に戻りつり合いました。水1cm3あたりの重さを1gとしたとき、600gのおもり1cm3あたりの重さは何gですか。

図６

(解説と解答）
棒Bの重心はCから30cmですから、棒の中心からは20cmになるので、この場合、時計回りの回転力は
400×20＋200×50＝8000＋10000＝18000になります。

支点から600gのおもりまでの距離は50㎝ですから、18000÷50＝360ｇなので、600－360＝240ｇの浮力がかかっています。

ということはおもりDの体積は240cm3です。（水が1cm3、1gとなっていますから240÷1＝240cm3になります。）

したがっておもりDの1cm3あたりの重さは600÷240＝2.5gになります。

（答え）2.5g

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