2014年巣鴨中学の問題です。

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水中に完全に入ったうきと棒とばねが図1のようにひもで結ばれて棒が水平になり全体がつりあっています。うきA、Bはどちらも1cm3あたり0.8gの一様な物質からなり、体積はAが25cm3、Bが80cm3です。棒C、Dは一様な細い棒で重さはどちらも4gであり、体積はどちらも無視できるものとします。長さはCが6cm、Dが4cmです。ばねE、Fは伸びた状態で、両端は棒と底にとめられています。またばねEは1cm伸ばすのに2gのおもりが必要であり、図１でののびは4.5cmです。後の問いに答えなさい。

ただし、水1cm3の重さは1gで、水中の物体にはその物資の体積に相当する水の重さ分の浮力がはたらきます。なお、ばね、ひもの体積と重さはないものとし、答えは小数点以下第2位を四捨五入して答えなさい。

図１

問１　ばねEにかかっている力は何gですか。

問２　うきAの重さはは何gですか。

問３　うきAにはたらく浮力は何gですか。

問４　点Pでひもが棒を引く力は何gですか。

問５　点Qでひもが棒を引く力は何gですか。

問６　Xの長さは何cmですか。

問７　ばねFにかかっている力は何gですか。

問８　yの長さは何cmですか。

次に、図１の状態から、ばねEの位置を動かし、水を抜いていったところ、図２のように、うきBの体積の10分の1が水面上に出たところで、再び棒が水平につりあいました。

図２

問９　図2でｚの長さは何cmですか。

問10　ばねFは1cm伸ばすのに何gのおもりが必要ですか。

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【解説と解答】
問１　ばねEののびは4.5cmで、1cm伸ばすのに2gのおもりがいるので、2×4.5＝9gになります。
（答え）9g

問２　うきAは体積が25cm3、1cm3あたり0.8gなので重さは0.8×25＝20gです。
（答え）20g

問３　体積が25cm3なので浮力が25gかかります。
（答え）25g

問４　重さが20gで浮力が25gですから、したがって25－20＝5g上に上がろうとします。
（答え）5g

問５　ばねEには9gかかっていて、棒の重さが4gあります。したがって9＋4－5＝8gをひもがQで引き上げています。
（答え）8g

問６　Qを支点にして考えると、Qに反時計回りにかかるのは9×X＋3×4となり、時計周りにかかるのは6×5ですから、これがつりあいます。
したがって9×X＋3×4＝30　X＝2cmになります。
（答え）2cm

問７　うきBは体積が80cm3ですから、（1－0.8）×80＝16gの浮力を受けます。
Qが8gで、棒の重さが4gですから、ばねFにかかる重さは16－8－4＝4gになります。
（答え）4g

問８　Qを支点にして考えると、時計回りにかかるのは4×2＋4×4＝24
したがって24÷16＝1.5cmがyの長さになります。
（答え）1.5cm

問９　Bの水中の体積は80×$$\frac{9}{10}$$＝72cm3
重さは0.8×80＝64gですから、上にあがろうとする力は72－64＝8gです。
ｙが1.5cmなので、うきBとばねFの間は4－1.5＝2.5cm。
ばねFのところを支点として考えると時計回りは8×2.5＝20
反時計回りは2×4＋4×Qにかかる力だから（20－8）÷4＝3gがQにかかります。
Pは5ｇなので、5＋3－4＝4gがばねEにかかります。
Qを支点として考えると、Z×4＋4×3（反時計回り）＝5×6（時計回り）
（30－12）÷4＝4.5cmがZになります。
（答え）4.5cm

問10
ばねFには8－3－4＝1gの力がかかります。
またばねEには4gの力がかかります。
図1のときはばねEは4.5cmのびていました。
図2のときはばねEには4gかかるので、4÷2＝2cmのびています。
したがってその差である4.5－2＝2.5cmを4－1＝3gでばねFはのびることになります。
問題は1cmのばすのに何gか、と聞いていますから3÷2.5＝1.2gです。
（答え）1.2g

「映像教材、これでわかる力のつりあい」（田中貴）

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