2009年桜蔭中学の問題です。
３×５×５×５＋４×５×５＋２×５＋１
＝（ア）×（ア）×（ア）＋（イ）×（ア）×（ア）＋（ウ）×（ア）＋３
のときア、イ、ウにあてはまる整数を答えなさい。ただし、ア、イ、ウは１から９までの整数です。
３×５×５×５＋４×５×５＋２×５＋１を見てすぐ計算を始めてはいけません。
まあ、ちょっとは眺めている。ああ、そうか、これは５進法だ、と気づけば、あとはアイデアが湧いてくるでしょう。
与式は５進法で３４２１ということを表しています。
一方（ア）×（ア）×（ア）＋（イ）×（ア）×（ア）＋（ウ）×（ア）＋３
は（ア）進法で１イウ３と表せるということはわかります。
で１の位が３なのだからアは３よりは大きくなります。また同じ４桁で（ア）進法の最初の位が１だからアは５より大きくならないといけない。
ここで５進法での計算をしてみましょう。
125×３＋25×４＋5×２＋１＝486
で（ア）進法で表したときに１の位が３だからアは
486－３＝483の約数にならなければいけません。
483＝3×7×23 だからアは7と決まります。
ということであとは486を７進法で表せばいいので、
486÷7＝69…3
69÷7＝9…6
9÷7＝1…2
となるので7進法で表すと1263になります。
したがってアが７ イが２ ウが６が答えです。
（答え）ア ７ イ ２ ウ ６
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