2016年慶應普通部の問題です。
2以上10以下の整数A、Bについて、$$\frac{1}{A}$$－$$\frac{1}{B}$$を計算すると$$\frac{1}{C}$$になるようなものを考えます。Cは整数です。
① Cが最も小さくなるようなA、Bを求めなさい。
② Aが6以上のとき、考えられる$$\frac{1}{C}$$の合計を求めなさい。
【解説と解答】
①Aが２以上の数なので、$$\frac{1}{C}$$は$$\frac{1}{3}$$が最大になるから、Cは3が最小になります。
A=2のとき、$$\frac{1}{2}$$-$$\frac{1}{3}$$=$$\frac{1}{6}$$からA＝2 Ｂ＝6のとき、Ｃが最小になります。
（答え）Ａ＝2、Ｂ＝6
②
Ａ＝6のとき、Ｂは7以上10以下ですから、$$\frac{1}{A}$$-$$\frac{1}{B}$$＝$$\frac{1}{C}$$が成り立つ（Ａ、Ｂ、Ｃ）は
（6、7、42）（6、８、24）（6、9、18）（6、10、15）
以下Ａ＝７、Ａ＝８、Ａ＝９まで考えると
（7、8、56）
（８、９、7２） （8、10、40）
（9、10、90）
になります。
$$\frac{1}{C}$$の合計は
$$\frac{1}{6}$$-$$\frac{1}{7}$$＋$$\frac{1}{7}$$-$$\frac{1}{8}$$＋$$\frac{1}{8}$$-$$\frac{1}{9}$$
＋$$\frac{1}{9}$$-$$\frac{1}{10}$$=$$\frac{1}{6}$$-$$\frac{1}{10}$$＝$$\frac{1}{15}$$
$$\frac{1}{6}$$-$$\frac{1}{8}$$＋$$\frac{1}{8}$$-$$\frac{1}{10}$$＝$$\frac{1}{6}$$-$$\frac{1}{10}$$＝$$\frac{1}{15}$$
$$\frac{1}{15}$$×3＋$$\frac{1}{18}$$＝$$\frac{23}{90}$$
（答え）$$\frac{23}{90}$$
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