流水算

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2009年桐朋中学の問題です。


川の上流にP地、下流にQ地があります。PQ間をくり返し往復する船があり、この船は.P地Q地でそれぞれ22分間停まります。

A君は川沿いの道をQ地からP地まで歩きました。A君がQ地を出発したとき、船は同時にP地を出発しました。A君は途中でP地からQ地に向かう船と2回すれ違いました。

2回目にすれ違ったのは1回目にすれ違ってから1時間20分後のことでした。A君がQ地を出発してから2時間後に、A君はP地に、船はQ地に同時に着きました。

(1)A君がP地からQ地に向かう船と1回目にすれ違ったのは、A君がQ地を出発してから何分後でしたか。

(2)船が川を上るときの速さと川を下るときの速さの比を求めなさい。

(3)流れのないところでの船の速さは毎分325mです。川の流れの速さは毎分何mですか。また、PQ間の道のりは何mですか。


(1)

題意をグラフにすると図1のようになります。

PからQに下る船とA君は2回すれ違ったことになり、120分後に同時にA君はP、船はQについたことから、Qから1回目に会った地点アとPから2回目に会った地点イの距離は同じです。

グラフで、船の下りにかかった時間を【1】とすると、Pア:アT=Uイ;イS=【1】:120分で同じになるからです。

図1

したがって1回目に会うまでの時間を○とすると、図2のようになります。

図2

○×2+80=120ですから(120-80)÷2=20分が出発してから1回目に会うまでの時間になります。

(答え)20分

(2)
船がPからアまで行く時間は20分
Pからアまでの距離はQからイまでの距離に等しいので同じ距離を動くのにA君は120-20=100分かかります。

したがって船の下りの速さ:A君の速さ=100:20=5:1

Qからアまで移動するのにかかる時間が20分ですから、同じ距離を船が下るのにかかる時間は
20÷5=4分になります。

グラフの【1】(=船がPからQまで下りにかかる時間)=○+4分=20+4=24分

したがってグラフの(1)(=船がQからPまで上りにかかる時間)=120-22×2-24×2=28分

上りの速さ:下りの速さ=24:28=6:7
(答え)6:7

(3)下りの速さを7とすると上りの速さは6
静水時の速さは
(7+6)÷2=6.5=分速325m

流れの速さは
(7-6)÷2=0.5ですから
325÷6.5×0.5=25m

PQ間は船が24分かかるので、350×24=8400m

(答え)川の流れ 分速25m PQ間の距離 8400m 

「映像教材、これでわかる比と速さ」(田中貴)

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