2010年 海城中学の問題です。
図のように、底面の半径が６ｍ、高さが８ｍの円すいの中に球S、Tがあります。
球Sは円すいに側面と底面で接しており、球Tは円すいの側面と球Sに接しています。
（１）円すいと球Sが接するところには円ができます。この円のまわりの長さは何ｍですか。
（２）球Tの半径は何ｍですか。
中学入試で球が出題されるのは、それほど多くはありませんが、しかし、出題の形式としてはこの問題はひとつの典型かもしれません。
断面図で考えます。
このとき球Sの中心をS、球Tの中心をTとすると三角形ABSと三角形ACTは相似の直角三角形で、辺の比は３：４：５になっています。
したがってBS＝【３】とすればこれは球Sの半径も【３】となりAB＝【４】、AS＝【５】なので円すいの高さである８ｍは【３】＋【５】＝【８】になっていることになります。したがってBS＝３ｍ、AB＝４ｍ、AS＝５ｍです。
まず（１）ですが、同様に三角形ABRも３：４：５の三角形になり、AB＝４ｍ AB：BR＝５：３ですから
４×3/5＝2.4ｍ になります。
したがって周りの長さは2.4×２×3.14＝15.072ｍ になります。
（答え）15.072ｍ
（２）同様に三角形ACTも３：４：５ 球Sと球Tの接点をUとすると
TU＝CT＝球Tの半径＝（３）とすればAT＝（５）
AU＝８ｍ－３ｍ×２＝２ｍですから TU＝２×3/8＝0.75ｍ
(答え）0.75m
小学生が使える直角三角形としては３：４：５がその典型ですが、この問題もそれを使って相似形を使ってとけばよいので、球というよりは平面図形の問題と考えた方が良いでしょう。
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