2016年駒場東邦の問題です。
図のような正六角形ABCDEFがあります。辺BC,CDの真ん中の点をそれぞれGHとします。
（１）三角形AGEの面積は正六角形ABCDEFの面積の何倍ですか。
（２）FGとAHが交わる点をI、FGとADが交わる点をJ、FGとAEが交わる点をKとします。
次の長さの比を最も簡単な整数の比で求めなさい。
① BGとAJ
② AKとKE
（３）正六角形ABCDEFの面積を12cm2とするとき、三角形AIKの面積を求めなさい。
【解説と解答】
（１）全体の面積を【6】とすると、三角形AFEは【1】、三角形ABGは【0.5】、三角形CDEも【1】、三角形GCEも【1】だから、三角形AGEは【6】－【3.5】＝【2.5】
したがって$$\frac{25}{60}$$＝$$\frac{5}{12}$$
（答え）$$\frac{5}{12}$$倍
（２）FEの長さを(1)とすると、JLは(0.5) AD=(2)からAJ＝（1.5)÷2＝(0.75) BG=(0.5)よりBG：AJ＝2:3
AK：KE＝AJ：FE＝0.75：1＝3：4
（答え）BG：AJ 2:3 AK：KE 3:4
（３）
HからADに平行に線を引き、GEとの交点をQ、GFとの交点をPとするとPQ＝（0.25) HQ=（1.5－0.25）÷2＝0.625 HP＝0.875 AJ＝0.75だからAI：IH＝0.75：0.875＝6：7
したがって正六角形の6分の1の正三角形が2cm2になるので、三角形AJIは底辺が4分の3、高さが半分×13分の6だから13分の3。
三角形AJKは底辺が4分の3で高さが7分の3だから、結局三角形AIKは底辺が4分の３、高さが13分の3＋7分の3で、91分の60
したがって２×$$\frac{3}{4}$$×$$\frac{60}{91}$$＝$$\frac{90}{91}$$
（答え）$$\frac{90}{91}$$cm2
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