正六角形の問題

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2014年筑波大付属駒場中学の問題です。


下の図は、それぞれ同じ大きさの正六角形をすき間なくかいたものです。角図において、点A、Bは正六角形のの頂点で、点P、QはAとBを結ぶまっすぐな線と正六角形の辺との交わった点です。なお正六角形の大きさは、各図で違います。

次の(1)、(2)、(3)の各図について、ABの長さが30cmのとき、APとPQの長さをそれぞれ求めなさい。

(1)

(2)

(3)


(1)図を30度回転させて、拡大すると以下のようになります。

このときQはABの中点であることがわかり、三角形PQDと三角形ACPは相似でその比が1:2であることから、AP:PQ=2:1なので、AB=30cmのとき、AQ=15cm PQ=15÷3×1=5cmです。
【答え】AP=10㎝ PQ=5cm

(2)図を30度回転させて、拡大すると以下のようになります。

BF、ECは正六角形の1辺の長さの2倍ですから、BD:AC=3:1 BF:EA=2:3です。
AQ=30÷5×3=18㎝ AP=30÷4=7.5cmより PQ=18-7.5=10.5
【答え】AP=7.5㎝ PQ=10.5cm

(3)図を30度回転させて、拡大すると以下のようになります。

このときBCは正六角形の1辺の長さの4倍ですから、AP:PB=1:4
AEが正六角形の1辺の長さの3倍ですから、AQ:QB=3:4より
AP=30÷5=6cm
AQ=30÷7×3=$$\frac{90}{7}$$=12$$\frac{6}{7}$$cm
PQ=12$$\frac{6}{7}$$-6=6$$\frac{6}{7}$$

【答え】AP=6cm PQ=6$$\frac{6}{7}$$cm

「映像教材、これでわかる比と図形」(田中貴)

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