2016年筑波大駒場中学の問題です。
正三角形ABCの辺上に点DEがあり、ADとDBの長さの比は3:2、AEとECの長さの比は2:3です。また点Pは次の(1)(2)(3)のように正三角形ABCの内側にあります。正三角形ABCの面積が100cm2のとき、三角形PBCの面積を求めなさい。
(1)PはDE上にあり、DPとPEの長さの比は9:1
(2)Fは辺AB上にあり、AF：FBの長さの比は1：4
Gは辺AC上にあり、AGとGCの長さの比は4:1
PはDEとFGが交わった点
(3)PDとAB、PEとACはそれぞれ垂直。
【解説と解答】
(1)三角形ADE＝$$\frac{3}{5}$$×$$\frac{2}{5}$$=$$\frac{6}{25}$$
三角形PEC＝$$\frac{3}{5}$$×$$\frac{3}{5}$$×$$\frac{1}{3}$$＝$$\frac{3}{25}$$
三角形PDB＝$$\frac{2}{5}$$×$$\frac{2}{5}$$×$$\frac{2}{3}$$＝$$\frac{8}{75}$$
三角形PBC＝1－=$$\frac{6}{25}$$ー$$\frac{3}{25}$$ー$$\frac{8}{75}$$＝$$\frac{8}{15}$$
100×$$\frac{8}{15}$$＝53 $$\frac{1}{3}$$
（答え）53 $$\frac{1}{3}$$cm2
(2)
図のようにFかACに平行に線を引き、DEとの交点をQとします。AE＝【2】とすると、AF：FD＝1：2よりFQ＝【$$\frac{4}{3}$$】EG＝【2】より FP：PG＝2:3
三角形DPB＝$$\frac{4}{5}$$×$$\frac{4}{5}$$×$$\frac{2}{5}$$×$$\frac{1}{2}$$=$$\frac{16}{125}$$
同様にEからABに平行に線を引き、FGとの交点をRとするとAF＝【1】 AE:EG＝1:1よりER＝【$$\frac{1}{2}$$】FD＝【2】よりDP:PE=4:1
三角形PEC＝$$\frac{3}{5}$$×$$\frac{3}{5}$$×$$\frac{1}{5}$$＝$$\frac{9}{125}$$
三角形ADE＝$$\frac{3}{5}$$×$$\frac{2}{5}$$＝$$\frac{6}{25}$$
1－$$\frac{6}{25}$$ー$$\frac{16}{125}$$ー$$\frac{9}{125}$$＝$$\frac{14}{25}$$
100×$$\frac{14}{25}$$＝56
（答え）56cm2
(3)
図でEPをまっすぐ伸ばしたとき、ABとの交点はDBの中点になります。三角形GFEも三角形AGEも正三角形の半分の直角三角形になっているからです。
FD：DG＝1：2 GE＝（3）とするとDP＝(1) FE＝(6) FP＝(2) PE=(4)
EからBCに下ろした垂線の長さを<3>とすれば、FからBCに下ろした垂線の長さは<1> その差<2>を1:2に分けるので、PQの長さは<1>＋<2>×$$\frac{1}{3}$$＝<$$\frac{5}{3}$$>
したがってQPは正三角形ABCの高さ<5>のちょうど$$\frac{1}{3}$$になるから面積も$$\frac{1}{3}$$。
100×$$\frac{1}{3}$$＝33 $$\frac{1}{3}$$
（答え）33 $$\frac{1}{3}$$
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