平面図形の問題

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2016年筑波大駒場中学の問題です。


正三角形ABCの辺上に点DEがあり、ADとDBの長さの比は3:2、AEとECの長さの比は2:3です。また点Pは次の(1)(2)(3)のように正三角形ABCの内側にあります。正三角形ABCの面積が100cm2のとき、三角形PBCの面積を求めなさい。

(1)PはDE上にあり、DPとPEの長さの比は9:1

(2)Fは辺AB上にあり、AF:FBの長さの比は1:4
  Gは辺AC上にあり、AGとGCの長さの比は4:1
PはDEとFGが交わった点

(3)PDとAB、PEとACはそれぞれ垂直。


【解説と解答】
(1)三角形ADE=\frac{3}{5}×\frac{2}{5}=\frac{6}{25}
三角形PEC=\frac{3}{5}×\frac{3}{5}×\frac{1}{3}\frac{3}{25}
三角形PDB=\frac{2}{5}×\frac{2}{5}×\frac{2}{3}\frac{8}{75}
三角形PBC=1-=\frac{6}{25}\frac{3}{25}\frac{8}{75}\frac{8}{15}
100×\frac{8}{15}=53 \frac{1}{3}

(答え)53 \frac{1}{3}cm2

(2)

図のようにFかACに平行に線を引き、DEとの交点をQとします。AE=【2】とすると、AF:FD=1:2よりFQ=【\frac{4}{3}】EG=【2】より FP:PG=2:3

三角形DPB=\frac{4}{5}×\frac{4}{5}×\frac{2}{5}×\frac{1}{2}=\frac{16}{125}

同様にEからABに平行に線を引き、FGとの交点をRとするとAF=【1】 AE:EG=1:1よりER=【\frac{1}{2}】FD=【2】よりDP:PE=4:1

三角形PEC=\frac{3}{5}×\frac{3}{5}×\frac{1}{5}\frac{9}{125}

三角形ADE=\frac{3}{5}×\frac{2}{5}\frac{6}{25}

1-\frac{6}{25}\frac{16}{125}\frac{9}{125}\frac{14}{25}

100×\frac{14}{25}=56

(答え)56cm2

(3)

図でEPをまっすぐ伸ばしたとき、ABとの交点はDBの中点になります。三角形GFEも三角形AGEも正三角形の半分の直角三角形になっているからです。
FD:DG=1:2 GE=(3)とするとDP=(1) FE=(6) FP=(2) PE=(4)

EからBCに下ろした垂線の長さを<3>とすれば、FからBCに下ろした垂線の長さは<1> その差<2>を1:2に分けるので、PQの長さは<1>+<2>×\frac{1}{3}=<\frac{5}{3}>
したがってQPは正三角形ABCの高さ<5>のちょうど\frac{1}{3}になるから面積も\frac{1}{3}

100×\frac{1}{3}=33 \frac{1}{3}

(答え)33 \frac{1}{3}

「映像教材、これでわかる比と図形」(田中貴)

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