2014年筑波大付属駒場中学の問題です。
下の図は、それぞれ同じ大きさの正六角形をすき間なくかいたものです。角図において、点A、Bは正六角形のの頂点で、点P、QはAとBを結ぶまっすぐな線と正六角形の辺との交わった点です。なお正六角形の大きさは、各図で違います。
次の（1）、（2）、（3）の各図について、ABの長さが30cmのとき、APとPQの長さをそれぞれ求めなさい。
(1)
(2)
(3)
(1)図を30度回転させて、拡大すると以下のようになります。
このときQはABの中点であることがわかり、三角形PQDと三角形ACPは相似でその比が1:2であることから、AP：PQ＝2：1なので、AB＝30cmのとき、AQ＝15cm PQ＝15÷3×1＝5cmです。
【答え】AP＝10㎝ PQ＝5cm
（2）図を30度回転させて、拡大すると以下のようになります。
BF、ECは正六角形の1辺の長さの2倍ですから、BD：AC＝3：1 BF：EA＝2：3です。
AQ＝30÷5×3＝18㎝ AP＝30÷4＝7.5cmより PQ＝18－7.5＝10.5
【答え】AP＝7.5㎝ PQ＝10.5cm
(3)図を30度回転させて、拡大すると以下のようになります。
このときBCは正六角形の1辺の長さの4倍ですから、AP：PB＝1：4
AEが正六角形の1辺の長さの3倍ですから、AQ：QB＝3：4より
AP＝30÷5＝6cm
AQ＝30÷7×3＝$$\frac{90}{7}$$＝12$$\frac{6}{7}$$cm
PQ＝12$$\frac{6}{7}$$－6＝6$$\frac{6}{7}$$
【答え】AP＝6cm PQ＝6$$\frac{6}{7}$$cm
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