2016年栄光学園の問題です。
整数のすべての位の数字を足したりかけたりすることを考えます。例えば， 345の場合すべての位の数字を足すと12，かけると60になります。次の問いに答えなさい。
(1) すべての位の数字を足すと， 40になる7ケタの整数を考えます。
(a) 最も大きい整数， 3番目に大きい整数をそれぞれ答えなさい。
(b) 最も小さい整数， 3番目に小さい整数をそれぞれ答えなさい
(2) すべての位の数字をかけると， 96になる4ケタの整数を考えます。最も大きい整数， 3番目に大きい整数をそれぞれ答えなさい。
(3) すべての位の数字を足しでもかけても， 36になる整数があります。それらの整数は何ケタですか。ケタ数として考えられるものをすべて答えなさい。
【解説と解答】
(1)
(a)7桁で一番大きな数は9×7＝63です。なので63－40＝23小さくする必要があるから、１の位を0、10の位を0とすると、18小さくなるので、100の位が9－5＝4になれば良いから、一番大きな数は
9999400です。
次が9999310 3番目は9999301です。
（答え）最大9999400 3番目9999301
(b)7桁で1番小さな数は、1番大きな数から考えて1の位から9を並べていくと4つならびに、あと4ですから、1039999になります。次は1048999、3番目は1049899です。
（答え）最小1039999、3番目1049899
(2)96を素因数分解すると2×2×2×2×2×3になります。これらのうち、いくつかを掛け合わせて最大の1桁の数は2×2×2＝8なので、1000の位は8と決まり、残りは2×2×3ですから、次に大きな1桁の数は6、となるので最大は8621。
次に大きな数は8612、その次は8431になります。
（答え）最大8621 3番目 8431
(3)
36=2×2×3×3 ですから、一番大きな1桁の数9を作ることができます。
9と4とすると合計は13。36－13＝23ですから、23個1を並べて4と9とすると25桁なら和も積も36の数ができます。
次に最大は2＋2＋3＋3＝10だから、36－10＝26 26＋4＝30桁はできます。
9＋2＋2＝13 36－13＝23から26桁はできます。
6＋6＝12 36－12＝24 24＋2＝26桁
6＋3＋2＝11 36－11＝25 25＋3＝28桁
4＋3＋3＝10 36－10＝26 26＋3＝29桁
はできますが、27桁はできません。
（答え）25、26、28、29、30
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