月別アーカイブ: 2013年5月

学校選びの妙

先日、今年中学受験を終えられた保護者の方とお話をする機会がありました。

「結局、第3志望に行くことになったのですが、これが案外良い学校でした。」
「ほう。」
「娘にはちょうど良かったというか。そんなに成績にうるさくもないが、かといって勉強はしっかりさせているみたいだし、クラブ活動は活発で、娘は美術部に入ったのですが、さっそく友達もできて。」
「それは良かった。」
「先生ともお話しましたが、非常に熱心だし。それに何より、娘と似たようなお子さんが多いので、本人もなんかホッとしたところがあるみたいです。万が一、第一志望に入ったとして、ここまで子どもが楽しく学校に通えたかどうかは、わからない、と思うようになりました。第一志望はもちろん高嶺の花だったのですが、やはりできるお子さんが並んでいるだろうし、それなりに娘にはプレッシャーがかかるかもしれなかったわけで。それに比べると本当に、本人の地を出しやすい学校みたいで。」

実際に、多くの学校を調べて、これはと思う学校を受験されるわけですが、やはりお子さんに合う学校に行けた、というのは本当に学校選びの妙というか、親として「良かった」と思えるのではないでしょうか。特にこのお話で「本人の地が出せる」というのは大事なことのように思います。

背伸びすることもなく、自分らしく学校生活を送ることができれば、逆に好きなことも見つかりやすいし、今後のことも自然に考えることができる。~でなければならない、みたいなところから解放されて、自分の未来を自分らしく創造できるというのは、見ていても楽しいものです。

そんな学校を選ぶ、のは実は親の大事な役割なのです。子どもたちが、そこまで見抜けるわけはない。だから、親が「ウチの子に合う学校」をいかに選ぶか、ということが中学受験の成果をさらに一層実り多いものにする要素でしょう。これから説明会や個別相談会が行われていきますが、ぜひお子さんに合う学校を選んであげてください。

受験前に、「お父さん、お母さんは受ける学校のどこに行ってもうれしい」と心から言えるような学校選びをしていただければと思います。
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柱体とすい体

今週は柱体とすい体、さらに回転体について勉強していきましょう。

(1)柱体

ある底面をまっすぐ上に移動していったときにできる立体のことです。三角形をまっすぐ上に移動すれば、三角柱、円をまっすぐに上げれば円柱ということになります。

このとき、底面をまっすぐに動かした距離のことを高さといいます。柱体の体積は底面積×高さで求めることができます。

柱体の体積=底面積×高さ

柱体を展開図にしたとき、底面が2つともうひとつ、長方形ができます。

図の右側は、円柱を展開図にしたものですが、底面2つと長方形ができます。この長方形のことを側面といいます。側面の面積のことを側面積といいます。表に出ているすべての面の面積を表面積といいます。

側面席は底面の周りの長さ×高さで求めることができます。

側面積=底面のまわりの長さ×高さ

したがって表面積は底面積×2+側面積になるわけです。


(例題)
半径が6cm、高さ8cmの円柱の体積と表面積を求めなさい。ただし、円周率は3.14とします。


(解説と解答)
半径が6㎝ですから、底面積は6×6×3.14 これに高さをかければよいので、6×6×3.14×8=288×3.14=904.32cm3が体積です。

一方表面積は6×6×3.14×2+6×2×3.14×8=72×3.14+96×3.14=168×3.14=527.52cm2になります。

(答え)体積 904.32cm3 表面積 527.52cm2

(2)すい体
A 角すい

すい体は底面上の1点から垂直線をのばし、その線上の点(頂点)と底面の各点を結んでできる立体のことです。底面が三角形であれば三角すい、四角形であれば四角すいと言います。

頂点と底面の間の長さが高さになります。

すい体の体積は

すい体の体積は底面積×高さ×1/3 

です。

なぜ3分の1か、という問題ですが、立方体は実は3つの四角すい(底面は正方形)でできているのです。

図のようにA、B、C3つの四角すいが立方体の中にちょうど入っていることがわかるでしょう。ここから、すい体の体積は柱体の体積の3分の1という考え方ができるのです。

B 円すい

円すいは底面の円の中心から垂直に伸ばした線上の点と底面をつないだ立体を言います。

頂点から底面の円までの距離はどこでも同じです。この距離のことを母線といいますが、長さが同じですから、側面はおうぎ形になります。

このとき、おうぎ形の弧の長さと底面の円の円周は同じになるので、

半径×2×3.14=母線×2×3.14×中心角/360

という公式が生まれます。

円すいの体積=半径×半径×高さ×1/3

円すいの側面積=母線×半径×3.14

円すいの表面積=円すいの底面積+円すいの側面積=半径×半径×3.14+母線×半径×3.14=(半径+母線)×半径×3.14

ということになります。


底面の半径は6cm、高さ8cm、母線10cmの円すいがあります。これについて次の問いに答えなさい。ただし円周率は3.14とします。
(1)この円すいの体積を求めなさい。
(2)側面の中心角を求めなさい。
(3)この円すいの側面席を求めなさい。


(解説と解答)
(1)公式通りですから、6×6×3.14×8×1/3=96×3.14=301.44cm3
(2)中心角/360=半径/母線 ですから360×6/10=216°
(3)母線×半径×3.14=10×6×3.14=188.4cm2

(3)回転体

ある平面図形を直線を軸にして回転させてできる立体を回転体といいます。

長方形を軸を中心に360°回転させると、円柱になります。

三角形を軸を中心に360°回転させると、円すいになります。


下図のような図形をLを軸にして1回転させてできる立体の体積と表面積を求めなさい。ただし、円周率は3.14とします。


(解説と解答)

図のようになります。体積は、円柱と円すいの体積の合計です。式を書き切って、最後に3.14の計算をすることにしましょう。

円柱の体積 6×6×3.14×3+円すいの体積6×6×3.14×8×1/3=(108+96)×3.14=204×3.14=640.56cm3

表面積は円すいの側面積+円柱の側面積+円柱の底面積になります。これも式を書き切って、最後に3.14の計算をします。

10×6×3.14+6×2×3.14×3+6×6×3.14=(60+36+36)×3.14=132×3.14=414.48

(答え)体積 640.56cm3 表面積 414.48cm2

最近は立体の問題が増えてきました。例えば直方体と切断したり、立体図形をくりぬいたりしていますが、まず基本はここですから、しっかり公式を覚えてください。

なぜこの公式になるのか、理由も覚えておくと良いでしょう。それを利用して解く問題もありますので、注意しておきましょう。

以下のプリントもお役立ていただければと思います。


算数オンライン塾 柱体とすい体

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水溶液と熱

2012年 国学院久我山の問題です。
固体の物質が水にとけるときには熱の出入りがあって、水よう液の温度が上がったり下がったりします。また、その温度変化のしかたは物質の種類によって異なっています。固体の水酸化ナトリウムは水にとけて水よう液になるとき、熱が出てくるため温度が高くなります。保温容器内で、200gの水に固体の水酸化ナトリウムを0.4gずつ加えてよくかき混ぜたときの水よう液の温度を測りました。その結果を示したものが表1です。 次に、水の量を100g、150g、200g、…とし、それぞれに国体の水酸化ナトリウム1.2gを加えて混ぜたときの温度を測りました。その結果を示したものが表2です。  次の各問いに答えなさい。 (1) 水酸化ナトリウム1.2gを水200gに加えてよくかき混ぜたときに、水よう液の高くなる温度を答えなさい。 (2)水酸化ナトリウム3.2gを水500gに加えてよくかき混ぜたときに、水よう液の高くなる温度を答えなさい。  塩酸に固体の水酸化ナトリウムを加えてよくかき混ぜると、次の2つの変化が起こります。 (ア)国体の水酸化ナトリウムが水にとけるときに熱が出て、水よう液の温度が高くなる。 (イ)酸性の塩酸とアルカリ性の水酸化ナトリウム水よう液が混ざって、たがいの性質を打ち消し合うときに熱が出て、水よう液の温度が高くなる。  なお、水よう液1gの温度を1℃高くするための熱の量は、水よう液の種類には関係なく一定です。 あるこさの塩酸200gに固体の水酸化ナトリウムを0.5gずつ加えてよくかき混ぜ、温度を測りました。その結果を示したものが次の図です。  次の各問いに答えなさい。 (3)温度変化を示した上の図について、次の1~5の中から正しいものを1つ選び、番号で答えなさい。  1 水よう液が酸性を示すのは、図の点Bから点Cまでである。  2 水よう液が酸性を示すのは、図の点Aから点Cまでである。  3 水よう液がアルカリ性を示すのは、図の点Aから点Bまでである。  4 水よう液がアルカリ性を示すのは、図の点Aから点Cまでである。  5 点Aでは酸性を、点Bでは中性を、点Cではアルカリ性をそれぞれ示す。 (4)この実験で用いた塩酸の量を100gにして、固体の水酸化ナトリウムを4.0gとかしたときの水よう液のおよその温度〔℃〕として正しいものを、次の1~5の中から1つ選び、番号で答えなさい。はじめの温度は21.5℃とします。  1 30   2 32.5   3 35   4 37.5   5 40 (5)この実験で用いた塩酸200gと、2.0gの水酸化ナトリウムをとかしてある水よう液300gを混ぜたとき、水よう液の温度が何℃高くなるかを求め、もっとも近いものを次の1~5の中から1つ選び、番号で答えなさい。ただし、用いた水よう液はどちらも同じ温度のものとします。  1 1.4   2 2.4   3 3.5   4 4.0   5 5.0
(1)表1から考えて0.4gごとに0.5℃上がっているので0.5×3=1.5℃になります。 (答え)1.5℃ (2)表2で水が100gから300gになると温度は3分の1になっています。 したがって 表1から3.2gを水200gの中にいれると、0.5×(3.2÷0.4)=4℃上昇しますが、水が500÷200=2.5倍ですから、4÷2.5=1.6℃になります。 (答え)1.6℃ (3)グラフから考えて、Bの段階で中和したと考えられます。 したがってAからBまでは酸性、Bで中性、その後はアルカリ性になります。 したがって5が正解になります。 (答え)5 (4)グラフから塩酸200gに水酸化ナトリウム2.0gで中和し、それまでは200gの塩酸に対して27.5-21.5=6℃温度が上昇します。一方中和した後は、200gの塩酸に対して30-27.5=2.5℃温度が上がります。 塩酸を100gにしたので、水酸化ナトリウムは1.0gで中和しますから、それまでの温度変化は熱量が半分になりますが、全体の量も半分なので6℃で変わりません。 残り3.0gの水酸化ナトリウムが溶けるのには塩酸200g、水酸化ナトリウム2gで2.5℃ですから塩酸100g、水酸化ナトリウム3gであるならば、2.5×(3÷2)×2=7.5℃になります。 したがって21.5+6+7,5=35℃になるので、3が答えです。 (答え)3 (5)塩酸200gで水酸化ナトリウムは2.0gで中和しますから、その時の温度上昇は6℃です。 これで水酸化ナトリウムはなくなってしまうので、200gであれば6℃ですが、全体が200+300=500gになったので6÷(500÷200)=2.4℃上がりますが、最初から2g溶けていたので、グラフでAからCまでの熱量のうち、BからCまでの分はありません。したがってBからCは200gで2.5℃でしたから、500gでは 2.5 ÷(500÷200)=1℃は中和のときに熱が出ないので、2.4-1=1.4℃になります。 (答え)1 (5)はミスがおきそうです。中和のときに溶けてできる熱量は発生しないことに注意してください。 「映像教材、これでわかる水溶液」(田中貴) ============================================================== 中学受験で子どもと普通に幸せになる方法、本日の記事は 授業を増やす誘惑 ============================================================== 今日の慶應義塾進学情報 今は国語の過去問くらいで充分 ============================================================== ============================================================== お知らせ 算数5年前期第16回 算数オンライン塾「速さ(2)」をリリースしました。 詳しくはこちらから ============================================================== ============================================================== にほんブログ村 受験ブログ 中学受験(塾・指導・勉強法)へ にほんブログ村