各校の入試問題から」カテゴリーアーカイブ

回転体に関する問題

2013年駒場東邦の問題です。


1辺の長さが10㎝の正方形を8個組み合わせた、図のような図形を、直線ℓを軸としてそのまわりに180°回転させてできる立体の体積は何cm3ですか。
ただし、円周率は3.14とします。


(解答と解説)
いくつか注意する点があるでしょう。こういう問題は1辺が1cmであることが多いのに、10㎝だという点。360°ではなく180°であるという点。

確認してから解き始めましょう。3.14はできれば1回の計算で終わらせたいので、式をきちんと書くのがコツです。

さて、半回転ですから、左半分で180°分、右半分で180°分が出来上がりますから、

左半分は20×20×3.14×30×$$\frac{1}{2}$$-10×10×3.14×10×$$\frac{1}{2}$$=(6000-500)×3.14=5500×3.14

右半分は10×10×3.14×30×$$\frac{1}{2}$$=1500×3.14

したがって合計は(5500+1500)×3.14=7000×3.14=21980cm3

(答え)21980cm3

ミスなく解いて確実に得点しましょう。

「映像教材、これでわかる比と図形」(田中貴)

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気象に関する問題

今年は関東で竜巻が起きたり、台風30号でフィリピンが高潮の被害にあったりと、大きな自然災害がありました。

2012年は気象の問題が多かった年なのですが、その中から1題取り上げておきましょう。

2012年海城中学の問題です。


次の文章を読んで、各問いに答えなさい。

 図1は、2011年のある日の日本列島周辺の天気図です。図の中の太い実線や細い実線は等圧線を表していて、これらの線のようすから①風の向きや強弱を読み取ることができます。
 図1からわかるように、太い実線は( 1 )hPaごとに、細い実線は( 2 )hPaごとに引かれています。日本列島の西側には高気圧(図中のH)が、東側には低気圧(図中のL)があり、西高東低の気圧配置と呼ばれます。これは( 3 )型の気圧配置とも呼ばれます。

 空気は、気圧の( 4 )いところから( 5 )いところへと流れていきます。そのため、空気は等圧線に対して垂直に流れることになります。図2のような西高東低の気圧配置のとき、間に挟まれた地域には等圧線が南北に伸びるので、( 6 )風が吹くはずですが、( 3 )の典型的な季節風は( 7 )の風です。

この風向きの違いは、北半球では②進行方向に対して( 8 )向きに曲がる効果が現れるために起こります。この効果は、台風の渦の向きや③貿易風の風向きなど大規模な風に現れます。北緯20°~30°付近には年間を通じて高気圧が存在し、赤道付近には年間を通じて低気圧が存在しています。貿易風はこれらの間の地域に一年を通して吹いています。

問1 文中の( 1 )、( 2 )に入る数値を整数で答えなさい。

問2 文中の( 3 )に入る季節を答えなさい。

問3 文中の( 4 )、( 5 )に入る語を答えなさい。

問4 文中の( 6 )、( 7 )に入る方角を8方位で答えをさい。

問5 文中の( 8 )に入る方向は左右どちらですか。

問6 図1のような気圧配置のときは、太平洋側は乾燥した晴れになることが多いです。そうなる理由を説明しなさい。

問7 下線部①について、風の強弱は等圧線のどのようなようすからわかるのでしょうか。説明しなさい。

問8 下線部②の効果は、例えば気象衛星のとらえた台風の画像で見ることができます。解答用紙の○は台風の中心を表し、点線は図を描くための補助線です。台風の渦のようすを描き入れなさい。

問9 下線部③について、そのような風向きになる理由を説明しなさい。


(解説と解答)
問1 等圧線は太線が20hPa、細線が4hPaずつ刻まれています。図の1052hPaと1056hPaは隣り合っているので、細線の間隔が4hPaであることがわかるでしょう。
(解答)1 20 2 4

問2 大陸側に高気圧、太平洋側に低気圧ですから、西高東低の気圧配置になるので冬です。
(解答) 冬

問3 空気は気圧の高いところから、低い所に流れます。気圧の高いところでは下降気流、気圧の低い所では上昇気流が起きています。
(解答)4 高 5 低

問4 等圧線が南北に走る時は西側に高気圧があるので、西から東に向けて風が吹きますから、4は西。ただ冬は北西の季節風ですから7は北西。
(解答)6 西 7 北西

問5 西風が北西の風になるので、右向きに曲がることになります。これは地球の自転の方向が影響しています。
(解答)右

問6 北西の季節風は日本海の湿った空気を運び、日本列島にぶつかります。そこで高度があがると雪を降らして空気の湿度が下がって乾燥します。それが山を越えて太平洋側に吹くので、太平洋側は乾燥した晴れの日になることが多くなります。

(答え)しめった北西の季節風が山脈を越えるときに日本海側に雨や雪を降らせ、太平洋側には乾燥した風が吹くから。

問7 等圧線の間隔が狭いほど、気圧差は大きくなるので風は強くなります。

(答え)等圧線の間隔が広いほど風は弱く、等圧線の幅が狭いほど風は強い。

問8 台風は低気圧ですから、まわりから中心に向かって風が吹き込みます。このとき、北半球では地球が西から東に自転していくので、反時計回りの渦になります。

問9 赤道付近には低気圧が、北緯20°~30°には高気圧ができやすく、風は北側から南に吹きます。これが貿易風です。このとき、北風は地球の自転の力によって右に曲がるので北東の風に変わります。中緯度の方が速く自転するので、風は右に曲がります。

(答え)気圧の高い北から気圧の低い南に風が吹くときに、自転方向に進行方向に対して右に曲がるため北東の風になる。

温暖化で、地球の気圧が目まぐるしく変わり、大きな自然災害が起きやすくなっています。これらのメカニズムをしっかり学習しておきましょう。
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角の二等分線に関する問題

2013年 浅野中学の問題です。


図1のような三角形ABCがあります。辺BC上に点Dを角BADと角CADの大きさが等しくなるようにとります。また点Cを通りADに平行な直線を引き、この直線が辺BAの延長と交わる点をEとします。

AB=5cm、BC=7cm、CA=4cmとするとき、次の(1)から(3)の問いに答えなさい。ただし、それぞれの比は、すべてもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

図1

(1)BDの長さ:DCの長さを求めなさい。

図2

(2)さらに図2のようにAD上に点Fを各ABFと角DBFの大きさが等しくなるようにとります。このとき、DFの長さ:FAの長さを求めなさい。

(3)三角形ABFの面積:三角形BCFの面積:三角形CAFの面積を求めなさい。


(1)この図を見た瞬間、「ああ、角の二等分線の定理ね。」といって5:4と出してしまう生徒がいる、というリスクをこの問題は抱えています。

図1のように角Aを二等分したとき、AB:AC=BD:DCになるというのが「角の二等分線の定理」です。ここまで教えてしまう先生は多分、いるだろうなと思います。

さて、この図1はその証明に使われる図でもあります。
ADとECが平行ですから、角DAC=角ACEとなります。また角BADと角AECも同じになります。(同位角)

したがって三角形ACEは底角が等しいので二等辺三角形となり、AC=AE=4cmとなります。

図3

このとき、三角形ABDと三角形EBCは相似ですから、BD:DC=BA:AE(=BA:AC)になるのです。

(答え)5:4

(2)すると図2においてもBD:BA=DF:FAということになるので、BDの長さは7÷(5+4)×5=$$\frac{35}{9}$$cmとなるので、DF:FA=BD:BA=$$\frac{35}{9}$$:5=7:9になります。

(答え)7:9

(3)三角形ABF=【9】とすれば、三角形BDF=【7】 BD:DC=5:4 より三角形BCF=【7】÷5×9=【12.6】、三角形CAFは【9】÷5×4=【7.2】

したがって三角形ABFの面積:三角形BCFの面積:三角形CAFの面積=9:12.6:7.2=45:63:36=5:7:4

(答え)5:7:4

こういう問題を練習すれば、間違いなく教える先生は増えるでしょう。きっと。

(もう、教えちゃってるし。)

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