角の二等分線に関する問題

Pocket
LINEで送る

2013年 浅野中学の問題です。


図1のような三角形ABCがあります。辺BC上に点Dを角BADと角CADの大きさが等しくなるようにとります。また点Cを通りADに平行な直線を引き、この直線が辺BAの延長と交わる点をEとします。

AB=5cm、BC=7cm、CA=4cmとするとき、次の(1)から(3)の問いに答えなさい。ただし、それぞれの比は、すべてもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

図1

(1)BDの長さ:DCの長さを求めなさい。

図2

(2)さらに図2のようにAD上に点Fを各ABFと角DBFの大きさが等しくなるようにとります。このとき、DFの長さ:FAの長さを求めなさい。

(3)三角形ABFの面積:三角形BCFの面積:三角形CAFの面積を求めなさい。


(1)この図を見た瞬間、「ああ、角の二等分線の定理ね。」といって5:4と出してしまう生徒がいる、というリスクをこの問題は抱えています。

図1のように角Aを二等分したとき、AB:AC=BD:DCになるというのが「角の二等分線の定理」です。ここまで教えてしまう先生は多分、いるだろうなと思います。

さて、この図1はその証明に使われる図でもあります。
ADとECが平行ですから、角DAC=角ACEとなります。また角BADと角AECも同じになります。(同位角)

したがって三角形ACEは底角が等しいので二等辺三角形となり、AC=AE=4cmとなります。

図3

このとき、三角形ABDと三角形EBCは相似ですから、BD:DC=BA:AE(=BA:AC)になるのです。

(答え)5:4

(2)すると図2においてもBD:BA=DF:FAということになるので、BDの長さは7÷(5+4)×5=$$\frac{35}{9}$$cmとなるので、DF:FA=BD:BA=$$\frac{35}{9}$$:5=7:9になります。

(答え)7:9

(3)三角形ABF=【9】とすれば、三角形BDF=【7】 BD:DC=5:4 より三角形BCF=【7】÷5×9=【12.6】、三角形CAFは【9】÷5×4=【7.2】

したがって三角形ABFの面積:三角形BCFの面積:三角形CAFの面積=9:12.6:7.2=45:63:36=5:7:4

(答え)5:7:4

こういう問題を練習すれば、間違いなく教える先生は増えるでしょう。きっと。

(もう、教えちゃってるし。)

「映像教材、これでわかる比と図形」(田中貴)

==============================================================
中学受験で子どもと普通に幸せになる方法、本日の記事は

うわさ・・・
==============================================================
今日の慶應義塾進学情報

前夜の宿泊
==============================================================
お知らせ
算数5年後期14回 算数オンライン塾「容器と水量(2)」をリリースしました。
詳しくはこちらから
==============================================================

==============================================================
にほんブログ村 受験ブログ 中学受験(塾・指導・勉強法)へ
にほんブログ村


Pocket
LINEで送る