2013年　灘中学の問題です。

2013は4個の連続する数字0、1、2、3を並べ替えてできる数です。また、4213も4個の連続する数字1、2、3、4を並べ替えてできる数です。このように、4個の連続する数字を並べ替えてできる4桁の数について考えます。
（1）3で割り切れるものは全部で何個ありますか。
（2）千の位、百の位、十の位の数を左から順に並べてできる3桁の数を3で割ったときの余りと、一の位の数を3で割ったときの余りが等しいものは全部で何個ありますか。

（解説と解答）

（1）3つの連続する整数は3で割り切れますから、もう1つが3の倍数であればいいことになります。3つの連続する整数には3の倍数が1つ含まれますから、3の倍数が2つ入ればよいので、最初が3の倍数になれば良いことになります。
3、4、5、6のような形です。
したがって
0、1、2、3　の場合は3×3×2×1＝18個
3、4、5、6　の場合は4×3×2×1＝24個
6、7、8、9　の場合は4×3×2×1＝24個　ですから
18＋24×2＝66
（答え）66個

（2）3ケタの整数を3で割った時の余りは、各位の数を3で割った時の余りに等しくなります。
例えば3ケタの整数ABCは99×A＋A＋9×B＋B＋Cとあらわすことができ、
99×A＋9×Bは3で割り切れますから、A＋B＋Cを3で割った時の余りがABCを3で割った時の余りに等しくなります。

4つの連続する整数を考えるとその中にはは3で割り切れる数、3で割ると1余る数、3で割ると2余る数が必ず1つずつ含まれ、もう1つは3で割り切れる数、3で割ると1余る数、3で割ると2余る数のどれかになります。

（1）もうひとつが3の倍数の場合

一の位の数を3の倍数にすれば条件が成り立ちます。
すなわち3456で345と6はともに3で割り切れます。

3つの連続する整数　3の倍数ですから、

0123の場合　3ケタの整数の作り方はそれぞれ
123　0　　→6通り　
012　3　　→4通り

3456の場合、3ケタの整数の作り方はそれぞれ
345　6　　→6通り
456　3　　→6通り

6789の場合　3ケタの整数の作り方はそれぞれ
678　9　　→6通り　
789　6　　→6通り　なので　合計34通り。

（2）もうひとつが3で割ると1余る数の場合

1の位の数を3で割った時2余る数にすれば条件が成り立ちます。
すなわち1234で134と2にすればともに2余ります。
このような数は
1234　4567　の2つ
134　2　　→6通り　
467　5　　→6通り　
6×2＝12通り

（3）もうひとつが3で割ると2余る数の場合
1の位の数を3で割ったとき1余る数にすると条件が成り立ちます。
すなわち
2345で1の位を4にすると235と4はともに3で割ると1余ります。
このような数は
2345　5678　したがって（2）と同じように12通りあるので、
このような数は
34＋12×2＝58通りあります。

（答え）58通り

ということで、今年はこれが最後になります。

1年間ご覧いただきありがとうございました。

良いお年をお迎えください。

田中　貴

「映像教材、これでわかる数の問題」（田中貴）
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2013年　栄光学園の問題です。

2ケタの整数Aがありこれに1ケタの整数Xを足していきます。Xを足すのを6回繰り返したところ、1回足すごとに十の位の数が1つずつ増えていきました。
（1）1ケタの整数Xとして考えられるものをすべて答えなさい。
（2）2ケタの整数Aとして考えられるものをすべて答えなさい。

2ケタの整数Bがあり、これに1ケタの整数Yをかけていきます。Yをかけるのを4回繰り返したところ、1回かけるごとにケタが1つずつ増えていきました。
（3）1ケタの整数Yとして考えられるものをすべて答えなさい。
（4）2ケタの整数Bとして考えられる最も小さいものを答えなさい。

（解説と解答）
(1) 6回連続して足したとき、5回10が加わることでケタが1つずつ変わるのですから、50÷6＝8･･･2より9しかありません。
試しに19からスタートすると、
19、28、37、46、55、64、73、82、91･･･ということで、8回連続で増えました。
では次に8でやってみると
19、27、35、43、51、59･･･となり、5回しか増やすことができません。
1の位を9から始めてもそうですから、これ以下はありえないので、(1)は9と決まります。

この問題では6回繰り返した、ということだけなので、7回でも8回でもいいことになりますから19はあてはまります。ではちょうど6回の場合で10台のものは何でしょうか？

一番最後が0となれば、次は9がくるので10の位の数は変わりません。したがって9を引いて戻してみると、0→1→2→3→4→5→6となり16から始めるとちょうど6回で終わります。

やってみましょう。

16、25、34、43、52、61、70、79･･･ですから16から始めればいいことになります。

したがって16、17、18、19はあてはまります。
同様に考えると26、27、28、29はあてはまります。
29は　29→38→47→56→65→74→83→92→101ですから92まで7回成功しました。
同様に36、37、38、39はあてはまります。
39は　39→48→57→66→75→84→93→102　ですから93まで6回成功しました。

次は46です。46をやってみると
46→55→64→73→82→91→100で5回しか成功しません。したがって最大は39であることがわかります。答えは
（２）16、17、18、19、26、27、28、29、36、37、38、39

さて、次はかけ算です。２ケタの整数に１ケタの整数をかけていきます。
2ケタから始めるので1回目が3ケタ、2回目が4ケタ、３回目が5ケタ、4回目が6ケタにならなければなりません。
まず9倍を考えます。
最初の二けたの数を【1】とすると　このとき【9】、【81】、【729】、【6561】と【9】以降は1ケタ上がっていますから、必ず存在することがわかります。
実際にやってみましょう。

10≦【1】≦99　となるので
90≦【9】≦891　なので3ケタの数は存在します。　　
810≦【81】≦8019　4ケタの数は存在します。
7290≦【729】≦72171　5ケタの数は存在します。
65610≦【6561】≦649539　6ケタの数は存在します。
したがって9はあてはまる数です。

同様に考えてみると、
8倍は【1】、【8】、【64】、【512】、【4096】
7倍は【1】、【7】、【49】、【343】、【2401】
6倍は【1】、【6】、【36】、【216】、【1296】
5倍は【1】、【5】、【25】、【125】、【625】
で5倍は最後のところでケタが変わっていません。
そこでまず6倍を検証してみましょう。

6倍は
【1】とすると　10≦【1】≦99　　60≦【6】≦594　なので3ケタの数は存在します。
360≦【36】≦3564　4ケタの数は存在します。　
2160≦【216】≦21384　5ケタの数は存在します。
12960≦【1296】≦128304　で6ケタが存在します。

5倍は
【1】とすると　10≦【1】≦99　　50≦【5】≦495　なので3ケタの数は存在します。
250≦【25】≦2475　4ケタの数は存在します。
7290≦【125】≦12375　5ケタの数は存在します。
36450≦【625】≦61875　で6ケタが存在しません。

したがってあてはまる数は6、7、8、9となります。
（答え）6、7、8、9

（４）9倍の時に成り立つ数を考えればいいので、【6561】＝100000となります。
100000÷6561＝15.24より16が最小の数です。
（答え）16

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