2013年 灘中学の問題です。
2013は4個の連続する数字0、1、2、3を並べ替えてできる数です。また、4213も4個の連続する数字1、2、3、4を並べ替えてできる数です。このように、4個の連続する数字を並べ替えてできる4桁の数について考えます。
（1）3で割り切れるものは全部で何個ありますか。
（2）千の位、百の位、十の位の数を左から順に並べてできる3桁の数を3で割ったときの余りと、一の位の数を3で割ったときの余りが等しいものは全部で何個ありますか。
（解説と解答）
（1）3つの連続する整数は3で割り切れますから、もう1つが3の倍数であればいいことになります。3つの連続する整数には3の倍数が1つ含まれますから、3の倍数が2つ入ればよいので、最初が3の倍数になれば良いことになります。
3、4、5、6のような形です。
したがって
0、1、2、3 の場合は3×3×2×1＝18個
3、4、5、6 の場合は4×3×2×1＝24個
6、7、8、9 の場合は4×3×2×1＝24個 ですから
18＋24×2＝66
（答え）66個
（2）3ケタの整数を3で割った時の余りは、各位の数を3で割った時の余りに等しくなります。
例えば3ケタの整数ABCは99×A＋A＋9×B＋B＋Cとあらわすことができ、
99×A＋9×Bは3で割り切れますから、A＋B＋Cを3で割った時の余りがABCを3で割った時の余りに等しくなります。
4つの連続する整数を考えるとその中にはは3で割り切れる数、3で割ると1余る数、3で割ると2余る数が必ず1つずつ含まれ、もう1つは3で割り切れる数、3で割ると1余る数、3で割ると2余る数のどれかになります。
（1）もうひとつが3の倍数の場合
一の位の数を3の倍数にすれば条件が成り立ちます。
すなわち3456で345と6はともに3で割り切れます。
3つの連続する整数 3の倍数ですから、
0123の場合 3ケタの整数の作り方はそれぞれ
123 0 →6通り
012 3 →4通り
3456の場合、3ケタの整数の作り方はそれぞれ
345 6 →6通り
456 3 →6通り
6789の場合 3ケタの整数の作り方はそれぞれ
678 9 →6通り
789 6 →6通り なので 合計34通り。
（2）もうひとつが3で割ると1余る数の場合
1の位の数を3で割った時2余る数にすれば条件が成り立ちます。
すなわち1234で134と2にすればともに2余ります。
このような数は
1234 4567 の2つ
134 2 →6通り
467 5 →6通り
6×2＝12通り
（3）もうひとつが3で割ると2余る数の場合
1の位の数を3で割ったとき1余る数にすると条件が成り立ちます。
すなわち
2345で1の位を4にすると235と4はともに3で割ると1余ります。
このような数は
2345 5678 したがって（2）と同じように12通りあるので、
このような数は
34＋12×2＝58通りあります。
（答え）58通り
ということで、今年はこれが最後になります。
1年間ご覧いただきありがとうございました。
良いお年をお迎えください。
田中 貴
「映像教材、これでわかる数の問題」（田中貴）
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