数の性質の問題

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2013年 栄光学園の問題です。


2ケタの整数Aがありこれに1ケタの整数Xを足していきます。Xを足すのを6回繰り返したところ、1回足すごとに十の位の数が1つずつ増えていきました。
(1)1ケタの整数Xとして考えられるものをすべて答えなさい。
(2)2ケタの整数Aとして考えられるものをすべて答えなさい。

2ケタの整数Bがあり、これに1ケタの整数Yをかけていきます。Yをかけるのを4回繰り返したところ、1回かけるごとにケタが1つずつ増えていきました。
(3)1ケタの整数Yとして考えられるものをすべて答えなさい。
(4)2ケタの整数Bとして考えられる最も小さいものを答えなさい。


(解説と解答)
(1) 6回連続して足したとき、5回10が加わることでケタが1つずつ変わるのですから、50÷6=8・・・2より9しかありません。
試しに19からスタートすると、
19、28、37、46、55、64、73、82、91・・・ということで、8回連続で増えました。
では次に8でやってみると
19、27、35、43、51、59・・・となり、5回しか増やすことができません。
1の位を9から始めてもそうですから、これ以下はありえないので、(1)は9と決まります。

この問題では6回繰り返した、ということだけなので、7回でも8回でもいいことになりますから19はあてはまります。ではちょうど6回の場合で10台のものは何でしょうか?

一番最後が0となれば、次は9がくるので10の位の数は変わりません。したがって9を引いて戻してみると、0→1→2→3→4→5→6となり16から始めるとちょうど6回で終わります。

やってみましょう。

16、25、34、43、52、61、70、79・・・ですから16から始めればいいことになります。

したがって16、17、18、19はあてはまります。
同様に考えると26、27、28、29はあてはまります。
29は 29→38→47→56→65→74→83→92→101ですから92まで7回成功しました。
同様に36、37、38、39はあてはまります。
39は 39→48→57→66→75→84→93→102 ですから93まで6回成功しました。

次は46です。46をやってみると
46→55→64→73→82→91→100で5回しか成功しません。したがって最大は39であることがわかります。答えは
(2)16、17、18、19、26、27、28、29、36、37、38、39

さて、次はかけ算です。2ケタの整数に1ケタの整数をかけていきます。
2ケタから始めるので1回目が3ケタ、2回目が4ケタ、3回目が5ケタ、4回目が6ケタにならなければなりません。
まず9倍を考えます。
最初の二けたの数を【1】とすると このとき【9】、【81】、【729】、【6561】と【9】以降は1ケタ上がっていますから、必ず存在することがわかります。
実際にやってみましょう。

10≦【1】≦99 となるので
90≦【9】≦891 なので3ケタの数は存在します。  
810≦【81】≦8019 4ケタの数は存在します。
7290≦【729】≦72171 5ケタの数は存在します。
65610≦【6561】≦649539 6ケタの数は存在します。
したがって9はあてはまる数です。

同様に考えてみると、
8倍は【1】、【8】、【64】、【512】、【4096】
7倍は【1】、【7】、【49】、【343】、【2401】
6倍は【1】、【6】、【36】、【216】、【1296】
5倍は【1】、【5】、【25】、【125】、【625】
で5倍は最後のところでケタが変わっていません。
そこでまず6倍を検証してみましょう。

6倍は
【1】とすると 10≦【1】≦99  60≦【6】≦594 なので3ケタの数は存在します。
360≦【36】≦3564 4ケタの数は存在します。 
2160≦【216】≦21384 5ケタの数は存在します。
12960≦【1296】≦128304 で6ケタが存在します。

5倍は
【1】とすると 10≦【1】≦99  50≦【5】≦495 なので3ケタの数は存在します。
250≦【25】≦2475 4ケタの数は存在します。
7290≦【125】≦12375 5ケタの数は存在します。
36450≦【625】≦61875 で6ケタが存在しません。

したがってあてはまる数は6、7、8、9となります。
(答え)6、7、8、9

(4)9倍の時に成り立つ数を考えればいいので、【6561】=100000となります。
100000÷6561=15.24より16が最小の数です。
(答え)16

「映像教材、これでわかる数の問題」(田中貴)

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