2014年横浜雙葉中学の問題です。

AさんとBさんがP町から20km維れたQ町まで歩いて出かけることになりました。
先にBさんが出発し、午前8時にAさんが出発しました。P町から4kmのところでAさんがBさんを追いこし、途中2人とも45分の休憩をとり、午後3時にはP町から13kmの地点をBさんが通過しました。AさんがQ町に着いたときBさんはQ町から2km手前にいました。ただし、2人が歩いているときはそれぞれ一定の速さであるものとします。
　下の図は時刻と2人のP町からの距離を表したグラフです。次の各問いに答えなさい。

（1）AさんとBさんの歩く速さの比を求めなさい（できるだけ簡単な整数の比で表しなさい）。
（2）Aさんが出発したとき、Bさんは何m先を歩いていますか。
（3）Bさんの歩く速さは時速何kmですか。
（4）AさんがQ町に着いたのは午後何時何分ですか（途中の式や考え方も書きなさい）。

（1）AさんがBさんを追い抜いたところから、Aさんが20㎞にやってくるときまで、二人は休憩時間が同じなので、同じ時間歩いています。このときAさんは20－4＝16km、Bさんは18－4＝14kmですから、二人の速さの比は16：14＝8：7です。

（答え）8：7

（2）速さの比が8：7ですからAさんが4km動くとき、Bさんは4÷8×7＝3.5km動きます。したがってAさんが出発したとき、Bさんは4－35＝0.5km先にいます。

（答え）0.5km

（3）Bさんは午前8時から午後3時までの間に13－0.5＝12.5km移動しました。
この間に45分休んでいますから、15時－8時－45分＝6時間15分＝$$\frac{25}{4}$$時間かかっているので、
12.5÷$$\frac{25}{4}$$＝2kmが時速になります。

（答え）2km

（4）Aさんの時速は2×$$\frac{8}{7}$$＝$$\frac{16}{7}$$kmです。
20÷$$\frac{16}{7}$$＝8$$\frac{3}{4}$$時間＝8時間45分
これに45分の休憩時間が加わるので9時間30分ですから、8時＋9時間30分＝17時30分

（答え）午後5時30分

「映像教材、これでわかる比と速さ」（田中貴）

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2014年聖光中学の問題です。

最初に２つの分数、

$$\frac{0}{1}$$、$$\frac{1}{1}$$

が書かれています。この状態から次の規則にしたがって新しい分数を書いていきます。ただし、約分はしないものとし、$$\frac{0}{1}$$や$$\frac{1}{1}$$も分数として考えます。

【規則】２つの分数の間に、分子同士をたしたものを分子に、分母投資をたしたものを分母に持つような分数を書きくわえます。

例えば、この操作を1回行うと、

$$\frac{0}{1}$$、$$\frac{1}{2}$$、$$\frac{1}{1}$$

の３つの分数が書かれ、この操作を2回行うと、

$$\frac{0}{1}$$、$$\frac{1}{3}$$、$$\frac{1}{2}$$、$$\frac{2}{3}$$、$$\frac{1}{1}$$

の5つの分数が書かれます。このとき、次の問いに答えなさい。

（1）この操作を5回行った時、左から12番目の分数を答えなさい。

（2）この操作を10回行った時、
1　分数は全部で何個できますか。
2　分母が最大となるような分数のうち、分子が最も小さい分数を答えなさい。
3　分母が最大となるような分数のうち、分子が最も小さい分数は左から何番目にありますか。

（1）まずは素朴にやってみましょう。

１回目　$$\frac{0}{1}$$、$$\frac{1}{2}$$、$$\frac{1}{1}$$　と分数は3個

２回目　$$\frac{0}{1}$$、$$\frac{1}{3}$$、$$\frac{1}{2}$$、$$\frac{2}{3}$$、$$\frac{1}{1}$$　分数は5個

３回目　$$\frac{0}{1}$$、$$\frac{1}{4}$$、$$\frac{1}{3}$$、$$\frac{2}{5}$$、$$\frac{1}{2}$$、$$\frac{3}{5}$$、$$\frac{2}{3}$$、$$\frac{3}{4}$$、$$\frac{1}{1}$$　分数は9個

４回目　$$\frac{0}{1}$$、$$\frac{1}{5}$$、$$\frac{1}{4}$$、$$\frac{2}{7}$$、$$\frac{1}{3}$$、$$\frac{3}{8}$$、$$\frac{2}{5}$$、$$\frac{3}{7}$$、$$\frac{1}{2}$$、$$\frac{4}{7}$$、$$\frac{3}{5
}$$、$$\frac{5}{8}$$、$$\frac{2}{3}$$、$$\frac{5}{7}$$、$$\frac{3}{4}$$、$$\frac{4}{5}$$、$$\frac{1}{1}$$　分数は17個

ということは、各回とも$$\frac{1}{1}$$をのぞいてその右側に新しい数字ができるので、5回目の左から12番目は4回目の左から6番目の右側にできます。これは$$\frac{3}{8}$$と$$\frac{2}{5}$$の間ですから、$$\frac{5}{13}$$

（答え）$$\frac{5}{13}$$

（2）
1　1回目が3個、2回目が5個、3回目が9個、でそれぞれの回の個数の1小さい数を加えたものが次の回の個数になります。
もしくは前の個数の2倍－1という規則でも計算できるでしょう。
つまり2回目は3＋2、3回目は5＋4、4回目は9＋8　5回目は17＋16、6回目は33＋32、7回目は65＋64、8回目は129＋128、9回目は257＋256、10回目は513＋512＝1025個です。
（答え）1025個

2　最大の分母は1回目が2、2回目が3、3回目が5、4回目は8で、5回目は13です。ここから、最大の数は前2つの和であることがわかります。
したがって6回目は21、7回目は34、8回目は55、9回目は89、10回目は144です。

また最大の分母に対して最小の分子は
1回目が1、2回目が1、3回目が2、4回目が3、5回目が5とこれも、前2つの和になります。
したがって6回目が8、7回目が13、8回目が21、9回目が34、10回目が55となるので、分数は$$\frac{55}{144}$$です。

（答え）$$\frac{55}{144}$$

3　最大の分母と最小の分子は
1回目は左から2番目、2回目も左から2番目、3回目は4番目、4回目は6番目、5回目は12番目です。
偶数回目のときは、前回の数の左側にでき、奇数回のときは前回の数の右側にできています。
したがって偶数回の時は（前回の個数－1）×2、奇数回のときは前回の個数×2
6回目は22番目、7回目は44番目、8回目は86番目、9回目は172番目、10回目は342番目

（答え）342番目

「映像教材、これでわかる数の問題」（田中貴）

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