力のつりあいの問題

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2013年明大明治の問題です。


図1のように、底面積100cm2、重さ500gの円柱形の容器を台はかりに乗せ、その中に、底面積が80cm2、高さ8cmの円柱形の物体Aを入れます。

この容器に、毎秒5cm3の速さで静かに水を注ぎこんでいったところ、水を注ぎ始めてから20秒後に物体Aは容器の底から離れました。このことについて、問いに答えなさい。ただし、水1cm3あたりの重さを1gとします。また台はかりの台は動かないものとします。

(1)水を注ぎ始める前の台はかりの読みは何gですか。
(2)水を注ぎ始めて40秒後の台はかりの読みは何gですか。ただし、このとき水は容器からあふれていないものとします。

次に図2のように、図1と同じ容器中に底面積80cm2の円柱形の物体Bを天井からつるして入れます。
この容器に毎秒5cm3で静かに水を注ぎこんでいったところ、台ばかりの読みは図3、糸が天井を引く力は図4のように変化しました。このことについて次の問いに答えなさい。

図3

図4

(3)物体Bの体積は何cm3ですか。

(4)物体Bの重さは何gですか。

(5)水を注ぎ始めてから50秒後の、容器中の深さは何cmですか。


(解説)
(1)最初、水の入っていくことのできる底面積は100-80=20㎝2です。
毎秒5cm3で水が入っていくので20秒後には5×20=100cm3入りますが、底面積が20㎝2なので100÷20=5cmが水の高さになります。
このとき、物体Aが受ける浮力は深さ5cmまで入っているので、80×5=400cm3分の浮力を受けますから400gになります。
そこで浮く、ということはAの空気中の重さが400gであることがわかります。
したがって最初の台はかりの読みは500+400=900gです。
(答え)900g

(2)40秒後には水は5×40=200cm3入るので、重さは200g増えます。物体Aの重さは400g、容器の重さは500gですから合計で
200+400+500=1100gになります。
(答え)1100g

(3)台ばかりの読みは
1 500gからスタート → これは容器の重さなので、Bの重さは台はかりには入っていません。
2 40秒後に増え方が急になっている。40秒後に700g
3 80秒後に増え方がゆるやかになっている。80秒後に1700g 100秒後は1800g

です。

一方糸を引く力は最初は900gでした。
1 40秒後に糸を引く力はどんどん減っていきます。
2 80秒後に糸を引く力は減らなくなりました。このとき100g。
3 あとは変わらない。

です。

40秒後にともに変化がありますが、これは水面がBの底に着いたときです。ここから糸を引く力が減っているので、どんどん浮力を受けています。そして80秒後に変らなくなりましたから、ここでBは完全に水に沈んだことがわかります。ここで糸を引く力が100gですから、B全体が水に入った時に受ける浮力は900-100=800gであることがわかります。

(3)したがってBの体積は800cm3です。
(答え)800cm3

(4)物体Bの重さは最初の糸にかかる重さですから900gです。
(答え)900g

(5)40秒後にグラフの傾きが変わっています。この段階で容器には5×40=200cm3の水が入りました。
容器の底面積は100cm2ですから200÷100=2cmがBの底面と容器の底面の間の距離ということがわかります。

ここで水が入っていく底面積は100-80=20㎝2ですから残り10秒(50-40=10)では5×10÷20=2.5cmが水の高さになるので、全体では2+2.5=4.5cmになります。
(答え)4.5cm

「映像教材、これでわかる力のつりあい」(田中貴)

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