2016年雙葉学園中学の問題です。
たくさんある黒と白の碁石を図のように並べていきます。
1回目は、黒の碁石を1個置きます。2回目は白、3回目は黒、4回目は白、と、正六角形の形になるように加えていきます。
（1）3回目までに並べた碁石は全部で15個です。32回目までに並べた碁石は全部で何個ですか。
（2）黒の碁石が白の碁石よりも93個多くなるのは、何回目まで並べたときですか。
（3）このように並べた碁石を、1段目に1個、2段目に2個、3段目に3個･･･と、正三角形の形になるように並べかえます。例えば、2回目までに並べた碁石を並べかえると、右の図のようになります。100回目までに並べた碁石を並べかえると、何段の正三角形ができますか。
【解説と解答】
(1)増える個数でみると1回目は1個、2回目は5個、３回目は9個 4回目は13個と4個ずつ増えていきます。
したがって32回は1＋4×31＝1＋124＝125個増えるので
全部では（1＋125）×32÷2＝126×16＝2016個
（答え）2016個
(2)奇数番目に増えるのが黒、偶数番目に増えるのが白です。
差は1回目が1 、2回目が4、3回目が5、4回目が8、5回目が9個、というように偶数回は4の倍数、奇数回は4の倍数＋1になります。偶数回の場合、回期÷2×4＝差の個数です。
93個ですから奇数。なので、（93－1）÷4×2＝46回目がその前の偶数回ですから、47回目
（答え）47回目
(3)100回目に増える個数は1＋4×99＝397
合計の個数は（1＋397）×100÷2＝19900個
三角形上に並べるとn段まで行けば
（1＋n)×n÷2＝19900
19900×2＝39800をを分解すると199×200になるから、199段目まで並べたことになります。
（答え）199段目
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