2015年麻布中学の問題です。
（１）$$\frac{a}{84}$$ ＝ $$\frac{1}{b}$$ となる整数の組（a,b)は（1,84)(84,1)を含めて12組あります。残り10組をすべて答えなさい。
（２）２つの整数c,dの最小公倍数は84であり、$$\frac{1}{c}$$ ＋ $$\frac{1}{d}$$ ＝ $$\frac{11}{84}$$となります。整数c、dをもとめなさい。ただし、cはdよりも小さいものとします。
（３）４つの整数e、f、g、hの最小公倍数は84であり、$$\frac{1}{e}$$ ＋ $$\frac{1}{f}$$ ＝ $$\frac{1}{g}$$ ＋ $$\frac{1}{h}$$ となります。またe、fは3の倍数で、g、hは3の倍数ではありません。
整数e、f、g、hの組を2組答えなさい。ただし、eはfよりも小さく、gはhよりも小さいものとします。
【解説と解答】
（１）84の約数は1、2、3、4、6、7、12、14、21、28、42、84です。
したがって（a、b）＝（2、42）（3、28）（4、21）（6、14）（7、12）（12、7）（14、6）（21、4）（28、3）（42、2）の10組です。
（答え）（2、42）（3、28）（4、21）（6、14）（7、12）（12、7）（14、6）（21、4）（28、3）（42、2）
（２）$$\frac{11}{84}$$＝$$\frac{7}{84}$$＋$$\frac{4}{84}$$＝$$\frac{1}{12}$$＋$$\frac{1}{21}$$
（答え）c 12 d 21
（３）84の約数で3の倍数は3、6、12、21、42、84です。
$$\frac{1}{3}$$＝$$\frac{28}{84}$$ですから分母を84で通分すると分子は28になります。
同様に6は14、12は7、21は4、42は2、84は1です。
3の倍数にならない84の約数は1、2、4、7、14、28ですから、これも分母を84で通分すると分子は
84、42、21、12、6、3になります。
$$\frac{1}{e}$$ ＋ $$\frac{1}{f}$$は分母を84で通分すると、28、14、7、4、2、1の2つの和になり、
$$\frac{1}{g}$$ ＋ $$\frac{1}{h}$$は分母を84で通分すると、84、42、21、12、6、3の2つの和になります。これが等しいのは
（7、2）＝（6、3） （14、1）＝（12、3） （14、4）＝（12、6）です。
したがって
（e、f、g、h）＝（12、42、14、28）（6、84、7、28）（6、21、7、14）でこのうち2つを答えれば良いことになります。
（答え）（e、f、g、h）＝（12、42、14、28）（6、84、7、28）（6、21、7、14）から2つ
「映像教材、これでわかる数の問題」（田中貴）
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