2012年学習院中等科の問題です。
底面積が100cm2の容器に、深さ50cmまで水が入っています。水にいろいろな棒を入れて観察しました。あとの問いに答えなさい。
観察結果
・断面積が8cm2、長さが30cm、重さが300gの棒を入れると、しずんだ。
・断面積が10cm2、長さが30cm、重さが200gの棒を入れると、浮かんだ。水の深さは52cmになった。
・断面積が8cm2、長さが30cm、重さが200gの棒を入れると、浮かんだ。水の深さは52cmになった。
・断面積が5cm2、長さが80cm、重さが350gの棒を入れると、棒の先が容器の底についてしまった。
・断面積が8cm2、長さが30cm、重さが300gの棒をばねはかりにつるし、棒を完全に水中に入れると、ばねはかりは60gを示した。
（問1）①～⑧の棒を水に入れると、それぞれどのようになりますか。それぞれにあてはまるものを次のア～ウから選び、記号で答えなさい。
ア．浮かぶ イ．全体が水中にしずむ
ウ．先が容器の底につき、一部分は水面より上にある
① 断面積が8cm2、長さが30cm、重さが250gの棒
② 断面積が8cm2、長さが40cm、重さが300gの棒
③ 断面積が10cm2 長さが30cm、重さが250gの棒
④ 断面積が8cm2、長さが60cm、重さが390gの棒
⑤ 断面積が8cm2、長さが60cm、重さが410gの棒
⑥ 断面積が8cm2、長さが60cm、重さが460gの棒
⑦ 断面積が8cm2、長さが60cm、重さが500gの棒
⑧ 断面積が10cm2 長さが55cm、重さが500gの棒、
（問2）断面積が8cm2、長さが30cm、重さが300gの棒をばねはかりにつるし、棒を少しずつ水中に入れていきました。水の深さが51.2cmと51.6cmになったとき、ばねはかりが示す大きさはそれぞれいくらですか。
（問3）断面積が8cm2、長さが30cm、重さが200gの棒をばねはかりにつるし、棒を少しずつ水中に入れていきました。水の深さが51.2cmと51.6cmになったときに、ばねはかりが示す大きさはそれぞれいくらですか。
（問4）断面積が10cm2、長さが22cm、重さが200gの棒をばねはかりにつるし、棒を少しずつ水中に入れていきました。ばねはかりが50gを示したとき、水の深さと棒の水から出ている部分の長さはそれぞれいくらですか。
・断面積が8cm2、長さが30cm、重さが300gの棒を入れると、しずんだ。
→ 棒の長さが水の深さよりも短く、8×30＝240cm3の体積ですから240ｇの浮力を得ても300gの方が重いので、沈みます。
・断面積が10cm2、長さが30cm、重さが200gの棒を入れると、浮かんだ。水の深さは52cmになった。
→ 体積が300cm3ですから受ける浮力は300gですが、200gしか重さがないので浮きます。このとき水の深さは2㎝増えていますが、これは水の中に水そうの底面積100cm2×2＝200cm3、入っているということで200gの浮力を得て、空気中の重さ200gとつりあった、ということです。
・断面積が8cm2、長さが30cm、重さが200gの棒を入れると、浮かんだ。水の深さは52cmになった。
→ これは同じく体積が8×30＝240cm3で、浮力は240ｇですが空気中の重さが200gなので、浮きます。水の深さが2㎝増えていますが、水の中に入っている体積が200cm3で受けている浮力と空気中の重さ200gは上の例と同じくつりあっています。
・断面積が5cm2、長さが80cm、重さが350gの棒を入れると、棒の先が容器の底についてしまった。
→ これは長さが80cmと水の深さ50㎝よりも長いのですべてが水の中に入れません。水の体積は100×50＝5000cm3で、この棒の底面積は5㎝2ですから、水が入れる底面積は100－5＝95cm2なので5000÷95＝52.63・・・cmとなるから80cmまで行かないので、容器の底に立ってしまうことになります。
・断面積が8cm2、長さが30cm、重さが300gの棒をばねはかりにつるし、棒を完全に水中に入れると、ばねはかりは60gを示した。
→ 体積は8×30＝240cm3ですから受ける浮力は240g。空気中の重さが300gですから300－240＝60gがばねばかりの指す値になります。
ということなので、同じように考えていきましょう。
（問１）
① 断面積が8cm2、長さが30cm、重さが250gの棒
→ 棒の長さが50㎝より短く、体積は8×30＝240cm3ですから受ける浮力は240gなので、空気中の重さの方が重いから沈みます。
（答え）イ
② 断面積が8cm2、長さが40cm、重さが300gの棒
→ 棒の長さが50㎝より短く、体積は8×40＝320cm3ですから受ける浮力は320gなので、空気中の重さの方が軽いから浮きます。
（答え）ア
③ 断面積が10cm2 長さが30cm、重さが250gの棒
→ 棒の長さが50㎝より短く、体積は10×30＝300cm3ですから受ける浮力は300gなので、空気中の重さの方が軽いから浮きます。
（答え）ア
④ 断面積が8cm2、長さが60cm、重さが390gの棒
→ 棒の長さが50㎝より長いので、水が入ることのできる底面積は100－8＝92cm2なので5000÷92≒54.3cmですから54.3×8＝434.4gより重ければ立ちます。この場合は軽いので浮きます。
（答え）ア
⑤ 断面積が8cm2、長さが60cm、重さが410gの棒
→ 410gですからやはり軽いので浮きます。
（答え）ア
⑥ 断面積が8cm2、長さが60cm、重さが460gの棒
→ これは重いので立ちます。
（答え）ウ
⑦ 断面積が8cm2、長さが60cm、重さが500gの棒
→ これも重いので立ちます。
（答え）ウ
⑧ 断面積が10cm2 長さが55cm、重さが500gの棒
→ 5000÷（100－10）＝55.55…cmですから10×55.55･･･≒555gの浮力を受けますから、空気中の重さが軽いので浮きます。
（答え）ア
（問２）
51.2cmになったとき、100×1.2＝120cm3が水の中に入っているので、120gの浮力を受けます。重さが300gですから300－120＝180g
同様に1.6cmになったとき、100×1.6＝160cm3が水の中に入っているので、160gの浮力を受けますから300－160＝140g
（答え）51.2cmのとき 180ｇ 51.6cmのとき 140ｇ
（問３）
水の中に入っている体積は問２と同じになるので
51.2cmのときは200－120＝80g
51.6cmのときは200－160＝40g
（答え）51.2cmのとき 80ｇ 51.6cmのとき 40ｇ
（問４）
200－50＝150ｇですから150ｇの浮力を受けているので水の中に入っているのは150cm3であり、水面の高さは50＋150÷100＝51.5cmです。
150÷10＝15㎝が水中にあるので、22－15＝7cmが水から出ている長さです。
（答え）水の深さ 51.5cm 水から出ている長さ 7cm
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