月別アーカイブ: 2012年3月

まず面談へ

新学年が始まって1か月が経過しました。

今年からカリキュラムが変わっているところもあり、実際に新4年生、新5年生はめまぐるしい1か月間ではなかったかと思います。そろそろ最初の組み分けや月例テストも行われ、結果も帰ってきたところもあるでしょう。

「このまま、ついていけてるのかしら」

「このままのペースで、受験までなんて、もたない」

いろいろな感想があるかもしれません。特に最初のお子さんの受験の場合だと、ペース配分がわからなかったり、具体的な勉強の仕方がわからない場合もあるでしょう。

そんなときは、当ブログへ、と言いたいところですが、そうではなくて、すぐに塾の先生と相談してください

塾によって面談のシステムが異なりますが、申し込めばほとんどの塾が面談をしてくれると思います。

で、今感じている不安や、疑問点を面談前に書き出しておきましょう

これは私が面談を受けていた時に、よく保護者の方に勧めていました。時間の制限もあるので、「聞きそびれた」ということがないようにしておきましょう。

一回全部書き出してみるのです。

で、そこから何が問題なのか、お父さん、お母さん自身も整理できて、

「あ、ここをなんとかしなきゃいけない」とポイントがはっきりしてくるでしょう。

メモを見ながら、面談をしていただくと、ご家庭の疑問点がこちらもわかりやすくなるので、具体的な勉強法をお話することができます。

「本人ががんばらなきゃだめですね」

はまったく意味がない。そんなことはわかりきっているわけで、だからどうがんばるか、具体的な方法を聞いてくることが大事です。

「全部聞けました?大丈夫ですか?」

メモを見ながら、

「大丈夫です。先生、全部聞きました!」

と言っていただくと、お話する方もうれしいし、何よりご父母のお顔が晴れやかになると思います。

そろそろ面談を申し込んでみてください。

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立体を通る光線

今年の灘の2日目4番の(2)です。

一辺の長さが1cmの立方体の形をした透明なブロックを、すきまなく並べて直方体を作ります。この直方体の1つの頂点から、残り7つの頂点の中で最も遠い頂点に向かって光線を発射します。光線はまっすぐ進み、ブロックによって反射したり方向が変化したりすることはありません。この光線が貫いているブロックの個数を数えます。ただし、光線がブロックの頂点のみを通っている場合や辺のみを通っている場合には、光線がブロックを貫いているとは考えません。

ブロック202500個をたて75cm、横90cm、高さ30cmの直方体に並べたとき、貫かれたブロックは何個ですか。

(解答と解説)
75㎝ 90㎝ 30㎝の最大公約数は15なので5㎝、6㎝、2㎝の直方体について考えます。

図1

アから見ると光線は図のように通っていきます。

図2

イから見ると光線は図のように通っていきます。

図3

したがってウから見た下の段は

図4

のように斜線がついた立方体を光線が通過します。

上の段は

図4

ということから、この直方体の中で切られる立方体は10個あります。

で、大きな直方体で考えると、高さだけを考えればよくて、15個つらなれば向こう側に達します。

ひとつの高さに光線が通る直方体が1つだけあれば、最後までつながりますので、答えは
10×15=150個になります。


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辺の長さに注目する

2012年灘中学2日目の2番です。

下の図は、一辺の長さが3cmの立方体で、AMの長さは2cm、ANの長さは1cmです。4つの点A、E、M、Nを頂点とする三角すいをKとします。

(1)三角形EMNと合同な三角形を1つ、(例)のように(解答)に番き入れなさい。

(2)三角すいKについて、三角形EMNを底面としたときの高さを求めなさい。

(3)図のように、三角形ANMの角Nの大きさをx°で、三角形ANEの角Nの大きさをy°とします。このとき、x°+y°は何度ですか。

(解説と解答)

(1)この問題は着眼点が勝負になるかな、という気がします。
空間を切る問題で、斜めになっている平面を考えなければならないわけですが、斜めになっている平面上でできる三角形をどう描くか?ということを考えなければなりません。
で、注目するのは辺の長さです。
といって小学生ですから平方根は使えません。ただ、直角三角形の斜辺であることはわかります。つまりNMという辺は1㎝、2㎝の直角三角形の斜辺と表すことができます。そこで図にNMを書いてみると

図1 

のように書くことができます。次はNEですが、これは1㎝、3㎝の直角三角形の斜辺です。したがって

図2

のように作ってみましょう。そうすると最後の辺が2㎝、3㎝の直角三角形の斜辺であればよいので、

図3

と確認できれば、これが答えになります。

(2)この三角すいの体積は2×1×1/2×3×1/3=1㎝3になります。

で図3からこの三角形の面積を出すことはできますね。1辺3㎝の正方形から1㎝2㎝、1㎝3㎝ 2㎝3㎝の直角三角形を引けばよいので

3×3-1×2×1/2ー1×3×1/2ー2×3×1/2=7/2

になります。底面積×高さ×1/3=体積ですから 7/2×高さ×1/3=1より 高さは6/7㎝ と求めることができます。

(3)はまず展開図を思い起こして、正方形ABCD、ADHE、AEFBを全部同じ平面に書きます。

図4 

と図4のようになり、図のZの角度がわかればx+yの角度は求められることがわかります。

ここでやはり辺の長さに注目してください。

MNは1㎝2㎝の直角三角形の斜辺でした。同じものをNから下に伸ばしていくと三角形PQNを作ることができます。

この三角形PQNと同じ三角形がありますね。三角形PREです。これも1cm 2cmの直角三角形になります。

ということは三角形NPEは直角二等辺三角形になります。(三角形PQNと三角形PREは合同な直角三角形ですから、角QPNと角RPEの合計は90度です。)

したがってZは45° 180-45=135度が答えになります。

これはピタゴラスの定理を証明する図と同じですね。

図5

1㎝3㎝の直角三角形を4つ図のように組んでみれば中に正方形ができますが、この正方形の対角線の半分の長さは1㎝2㎝の直角三角形の斜辺です。

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