2013年横浜共立学園の問題です。

半径4cmの半円が、直線L上を後の図のアの位置からウの位置まですべらずに転がり１回転します。次の（　　　　）にあてはまる数を求めなさい。（円周率は3.14とします。）

（１）半円のが図のイの位置からウの位置まで転がる間に、半円の曲線部分が通ってできる図形の、周りの長さは（　あ　）cm、面積は（　い　）$$cm^2$$です。

（２）半円が図のアの位置からウの位置まで転がるとき、半円の中心が通ってできる線の長さは（　　う　　）cmです。

（１）図のようになります。

周りの長さは半径4cmの円の周と、半径8㎝の$$\frac{1}{4}$$円になるので、

4×2×3.14＋8×2×3.14×$$\frac{1}{4}$$＝（8＋4）×3.14＝37.68cm･･･あ

面積は下図のように移動してしまえば$$\frac{1}{4}$$円と同じです。

8×8×3.14×$$\frac{1}{4}$$＝16×3.14＝50.24$$cm^2$$･･･い

（答え）あ　37.68cm　い　50.24$$cm^2$$

（２）図のようになります。直線部分は半円の弧の長さに等しくなります。

したがって4×2×3.14×$$\frac{1}{4}$$×2＋4×2×3.14×$$\frac{1}{2}$$＝4×2×3.14＝25.12
（答え）25.12cm

「映像教材、これでわかる比と図形」（田中貴）

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2012年市川中学の問題です。

図のように、すべての麺が正三角形でできた三角すいABCDがあり、各辺のちょうど真ん中の点をそれぞれ、E、F、G、H、I、Jとします。
点Pは点Aを出発し三角すいABCDと正三角形EFGの辺上を動き、1回の移動で必ずとなりの点に動きます。たとえば、点BのとなりはE、H、Jです。

このとき、次の問いに答えなさい。

（１）点Pは、途中で同じ点を通ってはいけないものとして、ちょうど7回の移動ではじめて点Aに戻る動き方は全部で何通りありますか。
（２）点Pは、同じ点を何回通ってもよいものとして、ちょうど4回の移動で点Aに移動する動き方は何通りありますか。

（１）大きな正三角形（例えば三角形ABC）を1周するのには6回移動します。7回で戻るためには、大きな正三角形を例えば
A→E→B→H→C→Fと来て、これで5回ですから、FからGに行き、GからAに戻るという行き方が考えられます。
この場合大きな三角形の回り方はAからB、C、Dまで移動するので3通り。
そこから左右に分かれるので2通り。E、F、Gのどれかにもどったとき、片方には行けないのでAに戻るのは1通り。ですから、
3×2×1＝6通りあります。

次に最初にA→G→Fと来て、その反対に回る方法は
AからE、F、Gのどれかに行くので3通り。次に左右に分かれて2通り。Aに戻る大きな三角形の回り方は1通りですから、これも
3×2×1＝6通りあります。

AからB、C、Dまで下りてしまうと三角形BCDのどれかに行かねばならず、ここで4回移動します。ここから3回で戻る方法は、これ以外にはありません。
またAからE、F、Gに降りて下に降りず、横に移動すれば、ここで2回移動するので、残り5回で移動しますが、これもここでB、C、Dのどれかに降りてしまわないと、5回では戻れません。

したがって、これ以外にないので、答えは12通りです。

（答え）12通り

（２）
まずE、F、Gへ一往復し、もう一度E、F、Gを一往復する方法があるので、これが3×3＝9通り
次にB、C、Dまで下りると来た道を戻るしか方法がないので、これが3通り。
次にAからEに降りてF、Gと通ってAに戻る方法があり、これは最初がE、F、Gの3通り。次が2通りで、もどることもできるから、その次も2通りあり、合計では3×2×2＝12通り

したがって合計は9＋3＋12＝24通り

（答え）24通り

「映像教材、これでわかる場合の数」（田中貴）

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