2013年浦和明の星の問題です。
図のような、ABの長さが20cm、ADの長さが30cm、BCの長さが20cmで、ABが ADとBCに垂直な台形ABCDがあります。点P、QはそれぞれD、Cを同時に出発し、点Pは辺DA上を、点Qは辺CB上を何回か往復します。2点はともに毎秒2cmの速さで動き、点PがDに、点QがCに同時に来たときに止まります。
（１）2点P、Qが止まるのは、出発して何秒後ですか。
次に、4点A、B、Q、Pで囲まれる図形の面積について考えます。
ここで、4点A、B、Q、Pで囲まれる図形とは、点Pがちょうど頂点Aに来たときには三角形ABQを、点Qがちょうど頂点Bに来たときには三角形ABPを、それ以外のときは四角形ABQPのことを言うこととします。
（２）点が出発して10秒後から15秒後までの間は、この図形の面積は2点が動いても変わりません。そのときの面積を求めなさい。
（３）（２）のように、2点P、Qが動いてもこの図形の面積が変わらない時間が他に2回あります。それは出発して何秒後から何秒後までですか。2回とも答えなさい。
(解説と解答）
（１）AD間は30cmですから点PはDAを一往復するのに30×2÷2＝30秒かかります。
BC間は20cmですから点QはCBを一往復するのに20×2÷2＝20秒かかります。
したがってPQが止まるのは30秒と20秒の最小公倍数である60秒後になります。
（答え）60秒後
（２）10秒後にQがBにつき、折り返すのでPがAに到着するまで四角形PABQの面積は変わりません。
したがって10秒後にPは2×10＝20cm進みますからAP＝30－20＝10cm
10×20÷2＝100cm2
（答え）100cm2
（３）PとQの動きを1直線上に重ねてグラフにすると以下の通りになります。
PとQは同じ速さですから、PとQが反対方向に向かっているときに面積が変わらないので、グラフの赤い矢印の部分になります。
したがって20秒～40秒後と45秒～50秒後の２回です。
（答え）20秒～40秒後と45秒～50秒後
グラフを書いてしまうと、すぐに答えが見つかるでしょう。
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