点の移動の問題

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2013年浦和明の星の問題です。


図のような、ABの長さが20cm、ADの長さが30cm、BCの長さが20cmで、ABが ADとBCに垂直な台形ABCDがあります。点P、QはそれぞれD、Cを同時に出発し、点Pは辺DA上を、点Qは辺CB上を何回か往復します。2点はともに毎秒2cmの速さで動き、点PがDに、点QがCに同時に来たときに止まります。

(1)2点P、Qが止まるのは、出発して何秒後ですか。

 次に、4点A、B、Q、Pで囲まれる図形の面積について考えます。
  ここで、4点A、B、Q、Pで囲まれる図形とは、点Pがちょうど頂点Aに来たときには三角形ABQを、点Qがちょうど頂点Bに来たときには三角形ABPを、それ以外のときは四角形ABQPのことを言うこととします。
(2)点が出発して10秒後から15秒後までの間は、この図形の面積は2点が動いても変わりません。そのときの面積を求めなさい。
(3)(2)のように、2点P、Qが動いてもこの図形の面積が変わらない時間が他に2回あります。それは出発して何秒後から何秒後までですか。2回とも答えなさい。


(解説と解答)
(1)AD間は30cmですから点PはDAを一往復するのに30×2÷2=30秒かかります。
BC間は20cmですから点QはCBを一往復するのに20×2÷2=20秒かかります。
したがってPQが止まるのは30秒と20秒の最小公倍数である60秒後になります。

(答え)60秒後

(2)10秒後にQがBにつき、折り返すのでPがAに到着するまで四角形PABQの面積は変わりません。
したがって10秒後にPは2×10=20cm進みますからAP=30-20=10cm
10×20÷2=100cm2

(答え)100cm2

(3)PとQの動きを1直線上に重ねてグラフにすると以下の通りになります。

PとQは同じ速さですから、PとQが反対方向に向かっているときに面積が変わらないので、グラフの赤い矢印の部分になります。

したがって20秒~40秒後と45秒~50秒後の2回です。

(答え)20秒~40秒後と45秒~50秒後

グラフを書いてしまうと、すぐに答えが見つかるでしょう。

「映像教材、これでわかる比と速さ」(田中貴)

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