2011年駒場東邦の問題。
ある正方形ABCDがあり、辺BC、CDのまん中の点をそれぞれM、Nとします。AとM、AとN、MとNを結んだ直線で正方形を折ると四面体をつくることができます。その時、四面体の体積は3087cm3でした。
（１）四面体をつくったとき、点Bと重なる点をすべて答えなさい。
（２）この正方形の1辺の長さを求めなさい。
（３）四面体をつくったとき、三角形AMNを底面としたときの、四面体の高さを求めなさい。
この形は覚えておくと良いでしょう。
このように折ると、右図のような立体になります。
オレンジの面が同じです。
これは底面が直角三角形の三角すいで、立方体から切り取った立体です。
さて、（１）ですが、
BはCと重なりますが、DもCの位置にくるのを忘れないでください。
（答え）C、D
（２）図から立体のACの長さは正方形の１辺の長さになります。
その長さをXとすると、立体の体積は
1/2 × X × 1/2 × X × 1/2 × X × 1/3 = 1/24 × X × X × X ＝ 3087
なんだ、三次方程式か、いえ、素数分解です。
3087＝３×1029
1029は何で割れるか、１の位が9なので、７か17ぐらいはどうだろうか。 というので７で割ってみると
1029＝７×147
ということになって、これは３×７×７×７
すると3087＝３×３×７×７×７ これに24をかけると24＝２×２×２×３ですから
X × X × X ＝ ２×２×２×３×３×３×７×７×７＝42×42×42
となるので、１辺の長さは42cmです。
（答え）42cm
（３)まず三角形AMNを計算しましょう。
42×42ー42×21×1/2×２ー21×21×1/2＝42×21－10.5×21＝31.5×21
でここまでで計算をやめます。
体積は３×３×７×７×７ですから
31.5×21×高さ×1/3 ＝３×３×７×７×７
31.5×21×高さ＝３×３×３×７×７×７
高さ＝３×３×７×７÷31.5＝３×３×７×７×２÷63＝７×２＝14㎝
で答えは14㎝です。上手に計算してください。
（答え）14㎝
この形はたまに出題されますので、覚えておいた方が良いでしょう。
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