2014年麻布中学の問題です。
1番から9999番までの9999枚のカードを考えます。それぞれのカードには、番号の下にかっこがあり、その中に2つの数が下図のように書かれています。
この2つのうち、左の数はカードの番号を99で割った余り、右の数はカードの番号を101で割った余りです。ただし、割り切れるときは0と書かれています、最初の方のカードは下図のようになります。
（1）番号が101番、102番、103番、202番、203番、204番のカードの、かっこの中の数をそれぞれ書きなさい。
（2）番号の下に（51、41）と書かれているカードが1枚あります。それは何番のカードですか。
次に1番から999900番までの999900枚の別のカードを考えます。それぞれのカードには、番号の下にかっこがあり、その中に3つの数が下図のように書かれています。
この3つのうち、左の数はカードの番号を99で割った余り、真ん中の数はカードの番号を100で割った余り、右の数はカードの番号を101で割った余りです。ただし、割り切れるときは0と書かれています。
（3）かっこの中の左の数が51、右の数が41であるカードの番号を小さいものから順に3つ書きなさい。
（4）番号の下に（37、15、1）と書かれているカードが1枚あります。それは何番のカードですか。
【解説と解答】
（1)
101÷99＝1･･･2 101÷101＝1 102÷99＝1…3 102÷101＝1･･･1 103÷99＝1･･･4 103÷101＝1･･･2
202÷99＝2･･･4 202÷101＝2 203÷99＝2…5 203÷101＝2･･･1 204÷99＝2･･･6 204÷101＝2･･･2
【答え】
101→2、0 102→3、1 103→4、2
202→4、0 202→5、1 204→6、2
（2）（1）の答えを見てみると左の数字と右の数字の差は最初の101～103は2、202～204は4と共通になります。
左の数字は0から98まで増えて、右の数字は0から100まで増えるのでその間は差は一定です。
51と41ですから差は10になるので、101から202になるとき99のあまりは2増えていますから10÷2＝5 101×5＝505について考えると
505÷99＝5･･･10 505÷101＝5･･･0より差が10です。
506÷99＝5･･･11 506÷101＝5･･･1で同じく差が10ですから、
99×5＋51＝495＋51＝546 546÷101＝5･･･51で、これが答えになります。
【答え】
546
（3）（2）からまず、546が一番小さな数です。
99と101の最小公倍数は9999です。
9999は左の数が0、右の数も0になります。これは0といっしょです。
10100は左の数が2、右の数が0、10101は左の数が3、右の数が1で差が2になりました。
（1）で101が（2、0）でした。次が10100ですから、9999を加えていけばよいことがわかります。
546の次はしたがって10545となり、その次は20544となります。
【答え】546、10545、10544
（4）37と1ですから、差が36です。101から202になるとき99のあまりは2増えていますから36÷2＝18 18×101＝1818となり
1818÷99＝18･･･36 1818÷101＝18ですから差は36になっています。
したがって最初の数は1818＋1＝1819になります。（1819÷99＝18･･･37 1819÷101＝18･･･1）
1819÷100＝18･･･19ですからこれは答えではありません。
次は9999加えればいいので、
1819＋9999＝11818 11818÷100＝118･･･18
ここで1小さくなったので、最初から4少なくなればいいから、9999を4回加えれば良いことになります。
9999を10で割ると9あまるので、9999を1つ加えるごとに10で割る余りが1ずつ減るわけです。
1819＋9999×4＝1819＋39996＝41815
【答え】41815
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