数の性質に関する問題

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2014年麻布中学の問題です。


1番から9999番までの9999枚のカードを考えます。それぞれのカードには、番号の下にかっこがあり、その中に2つの数が下図のように書かれています。

この2つのうち、左の数はカードの番号を99で割った余り、右の数はカードの番号を101で割った余りです。ただし、割り切れるときは0と書かれています、最初の方のカードは下図のようになります。

(1)番号が101番、102番、103番、202番、203番、204番のカードの、かっこの中の数をそれぞれ書きなさい。

(2)番号の下に(51、41)と書かれているカードが1枚あります。それは何番のカードですか。

 次に1番から999900番までの999900枚の別のカードを考えます。それぞれのカードには、番号の下にかっこがあり、その中に3つの数が下図のように書かれています。

この3つのうち、左の数はカードの番号を99で割った余り、真ん中の数はカードの番号を100で割った余り、右の数はカードの番号を101で割った余りです。ただし、割り切れるときは0と書かれています。

(3)かっこの中の左の数が51、右の数が41であるカードの番号を小さいものから順に3つ書きなさい。

(4)番号の下に(37、15、1)と書かれているカードが1枚あります。それは何番のカードですか。


【解説と解答】
(1)
101÷99=1・・・2 101÷101=1  102÷99=1…3 102÷101=1・・・1  103÷99=1・・・4 103÷101=1・・・2
202÷99=2・・・4 202÷101=2  203÷99=2…5 203÷101=2・・・1  204÷99=2・・・6 204÷101=2・・・2
【答え】
101→2、0 102→3、1 103→4、2
202→4、0 202→5、1 204→6、2

(2)(1)の答えを見てみると左の数字と右の数字の差は最初の101~103は2、202~204は4と共通になります。
左の数字は0から98まで増えて、右の数字は0から100まで増えるのでその間は差は一定です。
51と41ですから差は10になるので、101から202になるとき99のあまりは2増えていますから10÷2=5 101×5=505について考えると
505÷99=5・・・10 505÷101=5・・・0より差が10です。
506÷99=5・・・11 506÷101=5・・・1で同じく差が10ですから、
99×5+51=495+51=546 546÷101=5・・・51で、これが答えになります。
【答え】
546

(3)(2)からまず、546が一番小さな数です。
99と101の最小公倍数は9999です。
9999は左の数が0、右の数も0になります。これは0といっしょです。
10100は左の数が2、右の数が0、10101は左の数が3、右の数が1で差が2になりました。
(1)で101が(2、0)でした。次が10100ですから、9999を加えていけばよいことがわかります。
546の次はしたがって10545となり、その次は20544となります。
【答え】546、10545、10544

(4)37と1ですから、差が36です。101から202になるとき99のあまりは2増えていますから36÷2=18 18×101=1818となり
1818÷99=18・・・36 1818÷101=18ですから差は36になっています。
したがって最初の数は1818+1=1819になります。(1819÷99=18・・・37 1819÷101=18・・・1)
1819÷100=18・・・19ですからこれは答えではありません。
次は9999加えればいいので、
1819+9999=11818 11818÷100=118・・・18
ここで1小さくなったので、最初から4少なくなればいいから、9999を4回加えれば良いことになります。
9999を10で割ると9あまるので、9999を1つ加えるごとに10で割る余りが1ずつ減るわけです。
1819+9999×4=1819+39996=41815
【答え】41815

「映像教材、これでわかる数の問題」(田中貴)

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