今回は点の移動について学習していきます。まずは基本的な問題をしっかりマスタ－してください。
（例題１）
1辺が12㎝の正方形の辺上をAから点Pが毎秒1cmの速さでA→D→C→Bと進んでいきます。三角形APBの面積が正方形ABCDの3分の1になるのは何秒後と何秒後ですか。
（解説と解答）
12×12＝144 144÷3=48cm2ですから、APの高さは48×2÷12＝8㎝ということになるので、BPの長さが8㎝のときも3分の1になることになります。
したがって最初は8÷1＝8秒後
もう1回は12×3-8＝28cmですから28÷1＝28秒後です。
（答え）8秒後 28秒後
（例題２）
点PはAから、点QはCから同時に出発して矢印の方向に長方形ABCDの辺上を移動します。点Pの速さは毎秒1cm、点Qの速さは毎秒2cmです。
次の問いに答えなさい。
（１）2点が初めて重なるのは出発して何秒後ですか。
（２）出発して28秒後の三角形PBQの面積は何cm2ですか。
（解説と解答）
（１）間の距離は18+30＝48cm 2点の速さの和は1+2＝3cmですから48÷3＝16秒後
（答え）16秒後
（２）Pは1×28＝28cmですから、28-18＝10㎝でBから10㎝のところにいます。
またQは2×28＝56cmですから、56-30-18＝8㎝で、Aから8㎝のところにいます。
したがって三角形PBQの面積は10×18÷2＝90
（答え）90cm2
（例題３）
図のような台形の辺上を点PはAから、点QはCから同時に出発します。
点Pの速さは毎秒1cm、点Qの速さは毎秒3cmです。
次の問いに答えなさい。
（１）直線PQが直線ABとはじめて平行になるのは何秒後ですか。
（２）直線PQが直線CDとはじめて平行になるのは何秒後ですか。
（３）四角形ABQPの面積が初めて台形の半分になるのは何秒後ですか。
（解説と解答）
（１）APとBQの長さが等しくなれば直線ABと直線PQは平行になります。
したがって12÷（1+2）＝4秒後
（答え）4秒後
（２）PDとCQの長さが同じになれば、直線PQは直線CDと平行になります。
AP：CQ＝1：2より
6-【1】＝【2】ですから【3】＝6より【1】＝2cmになるので、
2÷1＝2秒後
（答え）2秒後
（３）APとBQの和が6+12=18㎝の半分になれば、台形の半分になります。
AP＝【1】とするとBQ＝12-【2】より AP+BQ＝【1】+12-【2】＝12-【1】＝9より【1】=3
3÷1＝3秒後
（答え）3秒後
（例題４）
図のような台形ABCDがあります。点PはCを出発して、矢印の方向へ一定の速さで辺上をBまで動きます。
グラフは、点Pが出発してからの時間と三角形PBCの面積の関係を示したものです。これについて次の問いに答えなさい。
（１）辺BCの長さは何cmですか。
（２）点Pの動く速さは毎秒何cmですか。
（３）三角形BPCが初めて台形ABCDの$$\frac{3}{7}$$になるのは何秒後ですか。
（解説と解答）
（１）グラフから三角形BCDの面積が100㎝2ですから、
100×2÷10＝20cmがBCの長さです。
（答え）20cm
（２）5秒間でCからDまで10cm移動したので、10÷5＝2cm
（答え）2cm
（３）AD間は9－5＝4秒ですから、AD＝2×4＝8cmです。
したがって台形ABCDの面積は（8+20）×10÷2＝140cm2です。
三角形BPCの面積が140×$$\frac{3}{7}$$＝60cm2になるときですから、
60×2÷20＝6cm 6÷2＝3秒後
（答え）3秒後
（例題５）
図１のような台形ABCDがあります。点PはAを出発して、毎秒1cmの速さで辺上を矢印の方向にCまで動きます。図２は、このときのPが動き始めてからの時間と、三角形PCDの面積の変化のようすを表したものです。これについて次の問いに答えなさい。
（１）辺AD、BCの長さはそれぞれ何cmですか。
（２）三角形PCDの面積が66cm2になるのは、点Pが動き始めてから何秒後と何秒後ですか。
（解説と解答）
（１）グラフから三角形ADCの面積が60cm2、三角形BCDの面積が72cm2であることがわかります。
60×2÷12＝10cm･･･AD 72×2÷12＝12･･･BC
（答え）AD 10cm BC 12㎝
（２）グラフから0秒から12秒間の間に72－60＝12㎝2の面積が増えていますから、12÷12＝1cm2の面積が毎秒増えるので、
（66－60）÷1＝6秒後･･･1回目
次に12秒後から24秒後に72cm2へりますから、72÷12＝6cm2 が1秒間に減る面積なので、72－66＝6
6÷6＝1秒後より12+1＝13秒後
（答え）6秒後 13秒後
（例題６）
点Aから同時に点P、Qが円周上を矢印の方向に移動します。
Pは１周12秒、Qは１周24秒かかります。このとき次の問いに答えなさい。
（１）最初に2点が重なるのは何秒後ですか。
（２）最初に円の中心０と点P、Qが一直線になるのは何秒後ですか。
（解説と解答）
（１）角速度で考えます。Pは360÷12＝30°が秒速になり、Qは360÷24＝15°が秒速になります。
したがって重なるのは360÷（30＋15）＝8秒後
（答え）8秒後
（２）一直線になるのは、2つの点の間の角度が180°になるときですから、
180÷（30＋15）＝4秒後
（答え）4秒後
点の移動は速さと相似形が合わさったようなテーマなので、いろいろな応用問題が入試では出題されています。
しっかり自分で図を描いて、どの位置にいるのか、どういう図形ができるのかをしっかりイメージしてから解いていくと良いでしょう。
以下のプリントもお役立ていただければと思います。
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